Порядке очереди вычисляем умножение. Правила решения примеров по действиям со скобками
Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.
Yandex.RTB R-A-339285-1
В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.
Определение 1В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:
- Все действия выполняются слева направо.
- В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.
Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.
Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.
Пример 1
Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .
Решение
В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:
7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10
Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .
Пример 2
Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6: 2 · 8: 3 ?
Решение
Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.
Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.
Пример 3
Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 .
Решение
Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:
17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2
Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:
17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7
Ответ: 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7 .
Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:
Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.
Что такое действия первой и второй ступени
Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.
К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.
Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:
Определение 2
В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).
Порядок вычислений в выражениях со скобками
Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:
Определение 3
Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.
Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.
Пример 4
Условие: вычислите, сколько будет 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 .
Решение
В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:
7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1
Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .
Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:
5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2: 2
Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:
5 + 1 · 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6
На этом вычисления можно закончить.
Ответ: 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 6 .
Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.
Пример 5
Условие: вычислите, сколько будет 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) .
Решение
У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · (2 + 3) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .
Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28 .
Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.
Допустим, нам надо найти, сколько будет (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению (4 + 5 − 1) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 - 1 , результатом которой будет 7 .
Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями
Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.
Разберем пример такого вычисления.
Пример 6
Условие: найдите, сколько будет (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 .
Решение
У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 .
(3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 = 4 · 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13
Ответ: (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 = 13 .
В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
И вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий .
В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.
Навигация по странице.
Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание
В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок :
- действия выполняются по порядку слева направо,
- причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.
Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.
Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.
Пример.
Выполните действия 7−3+6 .
Решение.
Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .
Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .
Ответ:
7−3+6=10 .
Пример.
Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .
Решение.
Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.
Ответ:
Сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.
Пример.
Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .
Решение.
Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 - значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .
В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .
Ответ:
17−5·6:3−2+4:2=7 .
На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .
Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание - следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.
Действия первой и второй ступени
В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.
Определение.
Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени .
В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).
Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками
Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий . В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками , формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.
Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.
Пример.
Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .
Решение.
Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .
Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .
Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .
Ответ:
5+(7−2·3)·(6−4):2=6 .
Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.
Пример.
Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .
Решение.
Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .
Ответ:
4+(3+1+4·(2+3))=28 .
Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.
Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .
Видеоурок «Порядок выполнения действий» подробно поясняет важную тему математики - последовательность выполнения арифметических операций при решении выражения. В ходе видеоурока рассматривается, какой приоритет имеют различные математические операции, как это применяется в вычислении выражений, приводятся примеры для усвоения материала, обобщаются полученные знания в решении заданий, где имеются все рассмотренные операции. С помощью видеоурока учитель имеет возможность быстрее достичь целей урока, повысить его эффективность. Видео может применяться в качестве наглядного материала, сопровождающего объяснение учителя, а также в качестве самостоятельной части урока.
В наглядном материале используются приемы, которые помогают лучше достичь понимания темы, а также запомнить важные правила. С помощью цвета и разного написания выделяются особенности и свойства операций, отмечаются особенности решения примеров. Анимационные эффекты помогают подавать последовательно учебный материал, а также обратить внимание учеников на важные моменты. Видео озвучено, поэтому дополняется комментариями учителя, помогающими ученику понять и запомнить тему.
Видеоурок начинается с представления темы. Затем отмечается, что умножение, вычитание являются операциями первой ступени, операции умножения и деления названы операциями второй ступени. Данным определением нужно будет оперировать дальше, выведено на экран и выделено цветным крупным шрифтом. Затем представляются правила, составляющие порядок выполнения операций. Выводится первое правило порядка, которое указывает, что при отсутствии скобок в выражении, наличию действий одной ступени, данные действия необходимо производить по порядку. Во втором правиле порядка утверждается, что при наличии действий обеих ступеней и отсутствии скобок, производятся первыми операции второй ступени, потом производятся операции первой ступени. Третье правило устанавливает порядок выполнения операций, для выражений, включающих скобки. Отмечается, что в этом случае сначала производятся операции в скобках. Формулировки правил выделены цветным шрифтом и рекомендованы к запоминанию.
Далее предлагается усвоить порядок выполнения операций, рассматривая примеры. Описывается решение выражения с содержанием только операций сложения, вычитания. Отмечаются основные особенности, которые влияют на порядок вычислений - отсутствуют скобки, присутствуют операции первой ступени. Ниже расписано по действиям, как выполняются вычисления, сначала вычитание, затем два раза сложение, а затем вычитание.
Во втором примере 780:39·212:156·13 требуется вычислить выражение, выполняя действия согласно порядку. Отмечается, что в данном выражении содержатся исключительно операции второй ступени, без скобок. В данном примере все действия производятся строго слева направо. Ниже поочередно расписываются действия, постепенно подходя к ответу. В результате вычисления получается число 520.
В третьем примере рассматривается решение примера, в котором есть операции обеих ступеней. Отмечается, что в данном выражении отсутствуют скобки, но есть действия обеих ступеней. Согласно порядку выполнения операций, производятся операции второй ступени, после этого - операции первой ступени. Ниже - по действиям расписывается решение, в котором выполняются сначала три операции - умножение, деление, еще одно деление. Затем с найденными значениями произведения и частных производятся операции первой ступени. В ходе решения фигурными скобками объединены действия каждой ступени для наглядности.
В следующем примере содержатся скобки. Поэтому демонстрируется, что первые вычисления производятся над выражениями в скобках. После них производятся операции второй ступени, следом - первой.
Далее представлено замечание о том, в каких случаях можно не записывать скобки при решении выражений. Замечено, что это возможно только в случае, когда устранение скобок не изменить порядок выполнения операций. Примером служит выражение со скобками (53-12)+14, которое содержит только операции первой ступени. Переписав 53-12+14 с устранением скобок, можно отметить, что порядок поиска значения не изменится - сначала выполняется вычитание 53-12=41, а затем сложение 41+14=55. Ниже отмечается, что менять порядок операций при нахождении решения выражения можно, используя свойства операций.
В конце видеоурока изученный материал обобщается в выводе, что каждое выражение, требующее решения, задает определенную программу для вычисления, состоящую из команд. Пример такой программы представляется при описании решения сложного примера, представляющего собой частное (814+36·27) и (101-2052:38). Заданная программа содержит пункты: 1) найти произведение 36 с 27, 2) добавить к 814 найденную сумму, 3) поделить на 38 число 2052, 4) отнять из числа 101 результат деления 3 пункта, 5) поделить результат выполнения пункта 2 на результат пункта 4.
В конце видеоурока представлен перечень вопросов, на которые предлагается ответить ученикам. В их числе умение отличить действия первой и второй ступеней, вопросы о порядке выполнения действий в выражениях с действиями одной ступени и разных ступеней, о порядке выполнения действий при наличии скобок в выражении.
Видеоурок «Порядок выполнения действий» рекомендуется применять на традиционном школьном уроке для повышения эффективности урока. Также наглядный материал будет полезен для проведения дистанционного обучения. Если ученику необходимо дополнительное занятие для освоения темы или он изучает ее самостоятельно, видео может быть рекомендовано для самостоятельного изучения.
Мы рассмотрим в этой статье три варианта примеров:
1. Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)
2. Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)
3. Примеры, в которых много действий
1 Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)
Рассмотрим три примера. В каждом из них порядок действий обозначен цифрами красного цвета:
Мы видим, что порядок действий в каждом примере будет разный, хотя числа и знаки одинаковые. Это происходит потому, что во втором и третьем примере есть скобки.
*Это правило для примеров без умножения и деления. Правила для примеров со скобками, включающих действия умножения и деления мы рассмотрим во второй части этой статьи.
Чтобы не запутаться в примере со скобками, можно превратить его в обычный пример, без скобок. Для этого результат, полученный в скобках, записываем над скобками, далее переписываем весь пример, записывая вместо скобок этот результат, и далее выполняем все действия по порядку, слева направо:
В несложных примерах можно все эти операции производить в уме. Главное — сначала выполнить действие в скобках и запомнить результат, а затем считать по порядку, слева направо.
А теперь — тренажеры!
1) Примеры со скобками в пределах до 20. Онлайн тренажер.
2) Примеры со скобками в пределах до 100. Онлайн тренажер.
3) Примеры со скобками. Тренажер №2
4) Вставь пропущенное число — примеры со скобками. Тренажер
2 Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)
Теперь рассмотрим примеры, в которых кроме сложения и вычитания есть умножение и деление.
Сначала рассмотрим примеры без скобок:
Есть одна хитрость, как не запутаться при решении примеров на порядок действий. Если нет скобок, то выполняем действия умножения и деления, далее переписываем пример, записывая вместо этих действий полученные результаты. Затем выполняем сложение и вычитание по порядку:
Если в примере есть скобки, то сначала нужно избавиться от скобок: переписать пример, записывая вместо скобок полученный в них результат. Затем нужно выделить мысленно части примера, разделенные знаками «+» и «-«, и посчитать каждую часть отдельно. Затем выполнить сложение и вычитание по порядку:
3 Примеры, в которых много действий
Если в примере много действий, то удобнее будет не расставлять порядок действий во всем примере, а выделить блоки, и решить каждый блок отдельно. Для этого находим свободные знаки «+» и «–» (свободные — значит не в скобках, на рисунке показаны стрелочками).
Эти знаки и будут делить наш пример на блоки:
Выполняя действия в каждом блоке не забываем про порядок действий, приведенный выше в статье. Решив каждый блок, выполняем действия сложения и вычитания по порядку.
А теперь закрепляем решение примеров на порядок действий на тренажерах!
