Задача о температуре воды в радиаторе отопления. При каком наименьшем значении константы 

Решения задач из открытого банка заданий ЕГЭ по математике.

1. Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре С = 3 × 10 -6 Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением R = 8 × 10 6 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U 0 = 4 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением t = aRC × log 2 (U 0 / U ) (с), где a = 1,4 — постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 33,6 с. Ответ дайте в кВ (киловольтах).

2. Для обогрева помещения, температура в котором равна T П = 20 ° С , через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой T В = 68 ° С . Расход проходящей через трубу воды m = 0,2 кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры T ( ° С ) , причём x = acm / g log 2 (( T В - T П )/( T - T П )) (м), где c = 4200 Дж/(кг × ° С ) — теплоёмкость воды, g = 21В т/(м × ° С ) — коэффициент теплообмена, а a = 1,7 — постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 136 м?

3. Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Н м) определяется формулой M = NIBl 2 sin a , где I = 10 A — сила тока в рамке, B = 3 × 10 -3 Тл — значение индукции магнитного поля, l = 0,4 м — размер рамки, N = 1200 — число витков провода в рамке, a — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла a (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 2,88 Н м?

4. Очень лёгкий заряженный металлический шарик зарядом q = 5 × 10 -6 Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет v = 6 м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол a с направлением движения шарика. Значение индукции поля, B = 4 × 10 -3 Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная F Л = qvB sin a (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла a , лежащего на отрезке шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила F Л была не менее чем 6 × 10 -8 Н? Ответ дайте в градусах.

5. Небольшой мячик бросают под острым углом a к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле L = ( v 0 ) 2 sin 2 a / g (м), где v 0 =10 м/с — начальная скорость мячика, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 10 м?

1. Решение. Чтобы ответить на вопрос, мы должны подставить все значения в формулу и решить неравенство 1,4 × 8 × 10 6 × 3 × 10 -6 × log 2 (4/ U ) ³ 33,6 . После умножения получаем 33,6 × log 2 (4/ U ) ³ 33,6, или log 2 (4/ U ) ³ 1. Отсюда 4/ U ³ 1, 4 ³ U . Ответ 4.

2. Решение.

136 = 1,7 × 4200 × 0,2 × log 2 ((68 - 20)/(T - 20))/21,

136 = 68 × log 2 (48 /( T - 20)), делим обе чсти уравнения на 68,

2 = log 2 (48 /(T - 20)),

3. Решение. Чтобы ответить на вопрос, мы должны подставить все значения в формулу и решить уравнение

2,88 = 1200 × 10 × 3 × 10 -3 × (0,4) 2 × sin a , перемножив числа в правой части, получаем

2,88 = 5,76 × sin a , отсюда sin a =0,5, a =30 ° .

4. Решение. Чтобы ответить на вопрос, мы должны подставить все значения в формулу и решить уравнение

6 × 10 -8 = 5 × 10 -6 × 6 × 4 × 10 -3 × sin a , перемножив числа в правой части, получаем

ЕГЭ 2014 Типовой вариант 6
Условия задач с ответами и решениями

B1 . В летнем лагере на каждого участника полагается 30 г сахара в день. В лагере 223 человека. Сколько килограммовых упаковок сахара понадобится на весь лагерь на 8 дней?

B2 . На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Рио-де-Жанейро за каждый месяц 2009 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячной температурой в 2009 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

B3 . Найдите площадь трапеции, вершинами которой являются точки с координатами (1;6), (7;6), (4;1), (2;1).

B4 . В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трех городах России (по данным на начало 2010 года). Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор продуктов: 2 батона пшеничного хлеба, 3 кг говядины, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях)

B5 . Найдите корень уравнение

B6 . Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 11, а одна из диагоналей ромба равна 44. Найдите величину тупого угла ромба. Ответ дайте в градусах.

B7 . Найдите значение выражения .

B8 . На рисунке изображен график функции и десять точек на оси абсцисс: . В скольких из этих точек производная функции положительна?

B9 . Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12, а сторона основания равна 8. Найдите тангенс угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания пирамиды.

B10 . В торговом центре два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится чай, равна 0,4. Вероятность того, что чай закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах.

B11 . Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6, боковые ребра равны 5. найдите площадь поверхности этой пирамиды.

B12 . Для обогрева помещения температура в котором равна T п = 20 о С, через радиатор отопления пропускают горячую воду температурой Т в = 88 о С. Расход проходящей через трубу воды m = 0,4 кг/c. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры T (o C), причем (м), где с = 4200 Дж/(кг o C) - теплоемкость воды, Вт/(м o C) - коэффициент теплообмена, - постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы равна 64 м?

B13 . В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же число процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытие торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?

B14 . Найдите наибольшее значение функции на отрезке

С1 . а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2 . В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 ребро основания AB = , а боковое ребро АА 1 = 7. Найдите тангенс угла между плоскостями BCA 1 и BB 1 C 1 .

С3 . Решите систему неравенств

С4 . Дан параллелограмм со сторонами 1 и 2 и острым углом 60 о. На двух его несмежных сторонах как на основаниях построены вне параллелограмма равнобедренные треугольники с углами 120 о при вершинах. Найдите расстояние между этими вершинами.

С5 . Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение, меньшее 2.

С6 . Друг за другом подряд выписали десятичную запись чисел и . Сколько всего цифр выписали?

Для обогрева помещения, температура в котором равна Tп = С, через радиатор отопления пропускают горячую воду температурой Тв = С. Расход проходящей через трубу воды кг/c. Проходя по трубе расстояние (м), вода охлаждается до температуры Т (), причём (Tв-Тп/T-Tп), (м), где Дж/кг — теплоёмкость воды, Вт/м -коэффициент теплообмена, а — постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы м?

Решение задачи

Данный урок представляет решение типовой арифметической задача В12. Условием задачи задается формула определения расстояния , которое проходит вода по трубе радиатора отопления, охлаждаясь при этом до температуры . В ходе решения в данную формулу подставляются все известные значения. Решив полученное логарифмическое уравнение с одним неизвестным , будет найден ответ на поставленный в задаче вопрос. Сначала при решении уравнения используется основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов. Это выполняется для того, чтобы выразить неизвестный логарифм. Затем в правой части уравнения выполняется многократное сокращение дроби. При этом применяется основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то величина дроби не изменится. Далее в ходе решения используется определение логарифма, согласно которому равенства и равносильны. Выполнив преобразования, из полученного дробно рационального уравнения выражается температура , что и является окончательным ответом на поставленный в задаче вопрос.

Следует отметить, что приведенное решение может быть использовано учащимися для результативной подготовки к ЕГЭ по математике.

Продолжаем рассматривать прикладные задачи, которые входят в состав ЕГЭ по математике. Если вы не читали статью « ! » , то советую с ней ознакомиться. В этой статье речь пойдёт о задачах, где используется понятие логарифма. Повторюсь, что в решении таких задач нет сложностей. Необходимо в данную в условии формулу подставить исходные величины. В данных задачах решение их сводится к решению логарифмического уравнения, либо .

Что необходимо знать о логарифме?

1. Основное логарифмическое тождество.

Определение: Логарифмом числа a по основанию b называется показатель степени, в который нужно возвести b, чтобы получить a.

log b a = x b x = a

(a > 0, b > 0, b ≠ 1)

Например:

log 3 9 = 2 так как 3 2 = 9

Основное логарифмическое тождество:

2. Как решенается простое .

3. Как решается простое .

Рассмотрим задачи из открытого банка задач ЕГЭ по математике:

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C = 5∙10 -6 Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением R = 2∙10 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U 0 = 25 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением:

Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 46 с.

Нам необходимо найти наибольшее возможное U на конденсаторе, при условии, что прошло не менее 46 секунд, то есть t ≥ 46.

Двойку представим в виде логарифма с основанием 2:

Знаки логарифмов мы можем снять, так как основания логарифмов в обеих частях равны. Знак неравенства не изменяется, так как основание логарифма больше единицы. Таким образом, далее будем неравенство:

Напряжение величина положительная, знак неравенства не меняется (при умножении частей неравенства на отрицательное число знак изменяется на противоположный):

Наибольшее возможное напряжение на конденсаторе 6,25 кВ.

Ответ: 6,25

Решить самостоятельно:

Для обогрева помещения, температура в котором равна Т п = 20 0 С, через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой Т в = 100 0 С. Расход проходящей через трубу воды m = 0,2 кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры Т 0 С, при чём

где с = 4200Дж/кг∙С - теплоемкость воды

γ = 42 Вт/м∙ 0 С- коэффициент теплообмена

α = 1,4 - постоянная.

До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 28 м?

В данном случае необходимо решить уравнение:

Найдём Т, подставив все известные значения:

Единицу представим в виде логарифма с основанием 1:

Так как основания логарифмов равны, то равны их подлогарифмические выражения:

Вода охладится до температуры 60 градусов Цельсия.

Ответ: 60

Решить самостоятельно:

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени υ = 4 моля воздуха объемом V 1 = 15л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма V 2 . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением:

где α = 9,15- постоянная

Т = 300К- температура воздуха.

Какой объём V 2 (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10980 Дж.

В данной задаче необходимо найти V 2 , подставив все известные значения в формулу:

В отличие от уже решённых задач, так можно использовать определение основного логарифмического тождества:

Воздух станет занимать 7,5 литра.

Ответ: 7,5

Решить самостоятельно:

Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий υ = 6 моля воздуха при давлении p 1 = 2,5 атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением:

α = 5,75- постоянная - постоянная

Т = 300К - температура воздуха

p 1 (атм) - начальное давление

p 2 (атм) - конечное давление воздуха в колоколе.

До какого наибольшего давления p 2 можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 10350 Дж? Ответ приведите в атмосферах.

Сказано, что «совершается работа не более, чем 10350 Дж», то есть максимальная работа, которая совершается при сжатии воздуха это 10350 Дж. Наибольшее давление будет достигнуто именно при максимальной работе, поэтому подставив все известные величины в выражение, решим уравнение и найдём p 2:

Подведём итог:

1. Подставляем данные в условии величины в формулу.

2. Внимательно вычисляем.

Если решаем уравнение, то используем определение основного логарифмического тождества. Либо свойство логарифма при решении уравнений (знаки логарифмов с одним основанием можно «снимать», то есть приравнивать подлогарифмические выражения).

Если решаем неравенство, то при снятии знаков логарифма обращаем внимание на его основание. Если оно принадлежит интервалу от 0 до 1, то знак неравенства меняем на противоположный. Если более единицы, то знак неравенства не изменяем.