Модель функций. Функциональный анализ. Виды анализа. Большая энциклопедия нефти и газа
Развитие Функциональный анализ (математ.) происходило параллельно с развитием современной теоретической физики, при этом выяснилось, что язык Функциональный анализ (математ.) наиболее адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т.п. В свою очередь эти физические теории оказали существенное влияние на проблематику и методы Функциональный анализ (математ.)
1. Возникновение функционального анализа. Функциональный анализ (математ.) как самостоятельный раздел математики сложился на рубеже 19 и 20 вв. Большую роль в формировании общих понятий Функциональный анализ (математ.) сыграла созданная Г. Кантором теория множеств. Развитие этой теории, а также аксиоматической геометрии привело к возникновению в работах М. Фреше и Ф. Хаусдорфа метрической и более общей т. н. теоретико-множественной топологии, изучающей абстрактные пространства, т. е. множества произвольных элементов, для которых установлено тем или иным способом понятие близости.
Среди абстрактных пространств для математического анализа и Функциональный анализ (математ.) оказались важными функциональные пространства (т. е. пространства, элементами которых являются функции - откуда и название «Функциональный анализ (математ.) »). В работах Д. Гильберта по углублению теории интегральных уравнений возникли пространства l 2 и L 2 (a , b ) (см. ниже). Обобщая эти пространства, Ф. Рис изучил пространства l p и L p (a , b ), а С. Банах в 1922 выделил полные линейные нормированные пространства (банаховы пространства). В 1930-40-х гг. в работах Т. Карлемана , Ф. Риса, американских математиков М. Стоуна и Дж. Неймана была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве.
В СССР первые исследования по Функциональный анализ (математ.) появились в 30-х гг.: работы
А. Н. Колмогорова (1934) по теории линейных топологических пространств;
Н. Н. Боголюбова (1936) по инвариантным мерам в динамических системах;
Л. В. Канторовича (1937) и его учеников по теории полуупорядоченных пространств, применениям Функциональный анализ (математ.) к вычислительной математике и др.; М. Г. Крейна и его учеников (1938) по углублённому изучению геометрии банаховых пространств, выпуклых множеств и конусов в них, теории операторов и связей с различными проблемами классического математического анализа и др.; И. М. Гельфанда и его учеников (1940) по теории нормированных колец (банаховых алгебр) и др.
Для современного этапа развития Функциональный анализ (математ.) характерно усиление связей с теоретической физикой, а также с различными разделами классического анализа и алгебры, например теорией функций многих комплексных переменных, теорией дифференциальных уравнений с частными производными и т.п.
2. Понятие пространства. Наиболее общими пространствами, фигурирующими в Функциональный анализ (математ.) , являются линейные (векторные) топологические пространства, т. е. линейные пространства Х над полем комплексных чисел (или действительных чисел ), которые одновременно и топологические, причём линейные операции непрерывны в рассматриваемой топологии. Более частная, но очень важная ситуация возникает, когда в линейном пространстве Х можно ввести норму (длину) векторов, свойства которой являются обобщением свойств длины векторов в обычном евклидовом пространстве. Именно, нормой элемента x Î Х называется действительное число ||x || такое, что всегда ||x || ³ 0 и ||x || = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;
||lx || = |l| ||x ||, l Î x , если ||x n - x || 0.
В большом числе задач возникает ещё более частная ситуация, когда в линейном пространстве Х можно ввести скалярное произведение - обобщение обычного скалярного произведения в евклидовом пространстве. Именно, скалярным произведением элементов x , у Î Х называется комплексное число (x , у ) такое, что всегда (x , x ) ³ 0 и (x , x ) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;
, l, m Î является нормой элемента x
. Такое пространство называется предгильбертовым. Для конструкций Функциональный анализ (математ.)
важно, чтобы рассматриваемые пространства были полными (т. е. из того, что 
для x m
, x n
Î X,
следует существование предела , также являющегося элементом Х
). Полное линейное нормированное и полное предгильбертово пространства называются, соответственно, банаховым и гильбертовым. При этом известная процедура пополнения метрического пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действительным) в случае линейного нормированного (предгильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.
Обычное евклидово пространство
является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства
. Однако в Функциональный анализ (математ.)
играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в которых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами которых являются классы комплекснозначных (т. е. со значениями в , норма ||x
|| = ; банахово пространство L p
(T
) всех суммируемых с р
-й (p
³ 1) степенью функций на Т
, норма 
; банахово пространство l p
всех последовательностей таких, что , здесь (множеству целых чисел), норма ||x
|| =(å|x j
| p
) 1/ p ; в случае p
= 2 пространства l 2
и L 2
(T
) гильбертовы, при этом, например, в L 2
(T
) скалярное произведение 
; линейное топологическое пространство D
(), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на , каждая из которых финитна [т. е. равна нулю вне некоторого интервала (а
, b
)]; при этом x n
x,
если x n
(t
) равномерно финитны [т. е. (а
, b
) не зависит от n
] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным x
(t
).
Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для l 2 : векторы e j = {0,..., 0, 1, 0,...} линейно независимы.
С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н , свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x , у Î Н называются ортогональными (x ^ y ), если (x , у ) = 0. Для любого x Î Н существует его проекция на произвольное подпространство - линейное замкнутое подмножество Н , т. е. такой вектор x , что x -x ^f для любого f Î . Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н , где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н ортонормированного базиса - последовательности векторов e j , j Î , из Н таких, что ||e j || = 1, e j ^ e k при j ¹ k , и для любого x Î справедливо «покоординатное» разложение
x = åx j e j (1)
где x j
= (x
, e j
), ||x
|| = å|x j
| 2 (для простоты Н
предполагается сепарабельным, т. е. в нём существует счётное всюду плотное множество). Если в качестве Н
взять L
2 (0, 2p) и положить , j
=...,-1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции x
(t
) Î L
2 (0, 2p) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между Н
и l
2 " {xj}
, j
Î гильбертовых пространств H j
- конструкция, подобная образованию Н
одномерными подпространствами, описываемому формулой (1); факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве Х
задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (x
, x
) = 0 для x
¹ 0], часто весьма экзотического характера, и Н
строится процедурой пополнения Х
относительно (.,.) после предварительного отождествления с 0 векторов x
, для которых (x
, x
) = 0; тензорное произведение - образование его аналогично переходу от функций одной переменной f
(x 1
) к функциям многих переменных f
(x 1
,..., x q
); проективный предел банаховых пространств - здесь (грубо говоря), если 
для каждого a; индуктивный предел банаховых пространств X 1
Ì X 2
Ì..., здесь , если все x j
, начиная с некоторого j 0
, лежат в одном X j0
, и в нём 
. Две последние процедуры обычно применяются для построения линейных топологических пространств. Таковы, например, ядерные пространства - проективный предел гильбертовых пространств Н
a , обладающих тем свойством, что для каждого a найдётся b такое, что h
b Ì Н
a , и это - т. н. вложение Гильберта - Шмидта .
Разработан важный раздел Ф, а., в котором изучаются пространства с конической структурой «x 0» (полуупорядоченностью). Пример такого пространства - действительное С (Т ), в нём считается x 0, если x (t ³)0 для всех t ÎT .
3. Операторы (общие понятия). Функционалы.
Пусть X
,
- линейные пространства; отображение A
: X
®
называется линейным, если для x
, у
Î X
, l, m Î 
,
где x 1 ,..., x n и (Ax ) 1 ,..., (Ax ) n - координаты векторов x и Ax соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L 2 (а , b ) в него же оператор
(2)
(где (t , s ) - ограниченная функция - ядро А ) - непрерывен, в то время как определённый на подпространстве 1 (a , b ) Ì L 2 (a , b ) оператор дифференцирования
(3)
является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве).
Непрерывный оператор A : X ® , где X , - банаховы пространства, характеризуется тем, что
,
поэтому его называют также ограниченным. Совокупность всех ограниченных операторов (X , ) относительно обычных алгебраических операций образует банахово пространство с нормой ||A ||. Свойства , если для каждого x Î X ], относительно которой шар, т. е. множество точек x Î Х таких, что ||x || £ r , уже будет компактным (такого эффекта никогда не будет в бесконечномерном пространстве относительно топологии, порождаемой нормой). Это позволяет более детально изучить ряд геометрических вопросов для множеств из X" , например установить структуру произвольного компактного выпуклого множества как замкнутой оболочки своих крайних точек (теорема Крейна - Мильмана).
Важной задачей Функциональный анализ (математ.)
является отыскание общего вида функционалов для конкретных пространств. В ряде случаев (помимо гильбертова пространства) это удаётся сделать, например (l p
)¢, p
> 1, состоит из функций вида åx j e j
, где , . Однако для большинства банаховых (и в особенности линейных топологических) пространств функционалы будут элементами новой природы, не конструирующимися просто средствами классического анализа. Так, например, при фиксированных t 0
и m
на пространстве D
() определён функционал 
. В случае m
= 0 его ещё можно записать «классическим» образом - при помощи интеграла, однако при m
³ 1 это уже невозможно. Элементы из (D
())¢ называются обобщёнными функциями
(распределениями). Обобщённые функции как элементы сопряжённого пространства можно строить и тогда, когда D
() заменено другим пространством Ф, состоящим как из бесконечно, так и конечное число раз дифференцируемых функций; при этом существенную роль играют тройки пространств Ф" É Н
É Ф, где Н
- исходное гильбертово пространство, а Ф - линейное топологическое (в частности, гильбертово с др. скалярным произведением) пространство, например
Ф = l 2 (T ).
Дифференциальный оператор D
, фигурирующий в (3), будет непрерывным, если его понимать действующим в L 2
[a
, b
] из пространства 1
[a
, b
], снабженного нормой 
, Однако для многих задач, и прежде всего для спектральной теории, такие дифференциальные операторы необходимо интерпретировать как действующие в одном и том же пространстве. Эти и другие близкие задачи привели к построению общей теории неограниченных, в частности неограниченных самосопряжённых, и эрмитовых операторов.
4. Специальные классы операторов. Спектральная теория. Многие задачи приводят к необходимости изучать разрешимость уравнения вида Cx = y , где С - некоторый оператор, у Î - заданный, а x Î Х - искомый векторы. Например, если Х = = L 2 (а , b ), С = Е - А , где А - оператор из (2), а Е - тождественный оператор, то получается интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода; если С - дифференциальный оператор, то получается дифференциальное уравнение, и т.п. Однако здесь нельзя рассчитывать на достаточно полную аналогию с линейной алгеброй, не ограничивая класс рассматриваемых операторов. Одним из важнейших классов операторов, наиболее близких к конечномерному случаю, являются компактные (вполне непрерывные) операторы, характеризующиеся тем, что переводят каждое ограниченное множество из Х в множество из , замыкание которого компактно [таков, например, оператор А из (2)]. Для компактных операторов построена теория разрешимости уравнения x - Ax = у , вполне аналогичная конечномерному случаю (и содержащая, в частности, теорию упомянутых интегральных уравнений) (Ф. Рис).
В разнообразных задачах математической физики возникает т. н. задача на собственные значения : для некоторого оператора А : Х ® Х требуется выяснить возможность нахождения решения j ¹ 0 (собственного вектора ) уравнения А j = lj при некотором l Î l j x j e j , (4)
где l j , - собственное значение, отвечающее e j . Для конечномерного Х вопрос о таком представлении полностью выяснен, при этом в случае кратных собственных значений для получения базиса в Х нужно, вообще говоря, добавить к собственным т. н. присоединённые векторы. Набор SpA собственных значений в этом случае называется спектром А .
Первое перенесение этой картины на бесконечномерный случай было дано для интегральных операторов типа А из (2) с симметричным ядром [т. е. K (t , s ) = K (s , t ) и действительно] (Д. Гильберт). Затем подобная теория была развита для общих компактных самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. Однако при переходе к простейшим некомпактным операторам возникли трудности, связанные с. самим определением спектра. Так, ограниченный оператор в L 2 [a , b ]
(Tx )(t ) = tx (t ) (5)
не имеет собственных значений. Поэтому определение спектра было пересмотрено, обобщено и выглядит сейчас следующим образом.
Пусть Х - банахово пространство, А Î - многочлен, то f (A ) = (степень оператора понимается как последовательное его применение). Однако если f (z ) - аналитическая функция, то так прямо понимать f (A ) уже не всегда возможно; в этом случае f (A ) определяется следующей формулой, если f (z ) аналитична в окрестности SpA, а Г - контур, охватывающий SpA и лежащий в области аналитичности f (z ):
. (6)
При этом алгебраические операции над функциями переходят в аналогичные операции над операторами [т. е. отображение f (z ) ® f (A ) - гомоморфизм]. Эти конструкции не дают возможности выяснить, например, вопросы полноты собственных и присоединённых векторов для общих операторов, однако для самосопряжённых операторов, представляющих основной интерес, например, для квантовой механики, подобная теория полностью разработана.
Пусть Н - гильбертово пространство. Ограниченный оператор А : Н ® Н называется самосопряжённым, если (Ax , у ) = (x , Ау ) (в случае неограниченного А определение более сложно). Если Н n -мерно, то в нём существует ортонормированный базис собственных векторов самосопряжённого оператора А ; другими словами, имеют место разложения:
, 
, (7)
где (l j ) - оператор проектирования (проектор) на подпространство, натянутое на все собственные векторы оператора А , отвечающие одному и тому же собственному значению l j .
Оказывается, что эти формулы могут быть обобщены на произвольный самосопряжённый оператор из Н , только сами проекторы (l j ) могут не существовать, поскольку могут отсутствовать и собственные векторы [таков, например, оператор Т в (5)]. В формулах (7) суммы заменяются теперь интегралами Стилтьеса по неубывающей операторнозначной функции Е (l) [которая в конечномерном случае равна ], называется разложением единицы, или спектральной (проекторной) мерой, точки роста которой совпадают со спектром Sp А . Если привлечь обобщённые функции, то формулы типа (7) сохраняются. Именно, если имеется тройка Ф" É Н É Ф , где Ф, например, ядерно, причём А переводит Ф в Ф¢ и непрерывно, то соотношения (7) имеют место, только суммы переходят в интегралы по некоторой скалярной мере, а Е (l) теперь «проектирует» Ф в Ф¢, давая векторы из Ф¢, которые будут собственными в обобщённом смысле для А с собственным значением l. Аналогичные результаты справедливы для т. н. нормальных операторов (т. е. коммутирующих со своими сопряжёнными). Например, они верны для унитарных операторов - таких ограниченных операторов, которые отображают всё Н на всё Н и сохраняют при этом скалярное произведение. Для них спектр Sp расположен на окружности |z | = 1, вдоль которой и производится интегрирование в аналогах формул (6). См. также Спектральный анализ линейных операторов.
5. Нелинейный функциональный анализ. Одновременно с развитием и углублением понятия пространства шло развитие и обобщение понятия функции. В конечном счёте оказалось необходимым рассматривать отображения (не обязательно линейные) одного пространства в другое (часто - в исходное). Одной из центральных задач нелинейного Функциональный анализ (математ.) является изучение таких отображений. Как и в линейном случае, отображение пространства в ) называется функционалом. Для нелинейных отображений (в частности, нелинейных функционалов) можно различными способами определить дифференциал, производную по направлению и т.д. аналогично соответствующим понятиям классического анализа. Выделение из отображения квадратичного и т.д. членов приводит к формуле, аналогичной формуле Тейлора.
Важной задачей нелинейного Функциональный анализ (математ.) является задача отыскания неподвижных точек отображения (точка x называется неподвижной для отображения , если Fx = x ). К отысканию неподвижных точек сводятся многие задачи о разрешимости операторных уравнений, а также задачи отыскания собственных значений и собственных векторов нелинейных операторов. При решении уравнений с нелинейными операторами, содержащими параметр, возникает существенное для нелинейного Функциональный анализ (математ.) явление - т. н. точки ветвления (решений).
При исследовании неподвижных точек и точек ветвления используются топологические методы: обобщения на бесконечномерные пространства теоремы Брауэра о существовании неподвижных точек отображений конечномерных пространств, степени отображений и т.п. Топологические методы Функциональный анализ (математ.) развивались польским математиком Ю. Шаудером, французским математиком Ж. Лере, советскими математиками М. А. Красносельским, Л. А. Люстерником и др.
6. Банаховы алгебры. Теория представлений. На ранних этапах развития Функциональный анализ (математ.) изучались задачи, для постановки и решения которых необходимы были лишь линейные операции над элементами пространства. Исключение составляют, пожалуй, только теория колец операторов (факторов) (Дж. Нейман, 1929) и теория абсолютно сходящихся рядов Фурье (Н. Винер , 1936). В конце 30-x гг. в работах японского математика М. Нагумо, советских математиков И. М, Гельфанда, Г. Е. Шилова, М. А. Наймарка и др. стала развиваться теория т. н. нормированных колец (современное название - банаховы алгебры), в которой, кроме операций линейного пространства, аксиоматизируется операция умножения (причём ||xy || £ ||x || ||y ||). Типичными представителями банаховых алгебр являются кольца ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве Х (умножение в нём - последовательное применение операторов - необходимо с учётом порядка), различного рода функциональные пространства, например c - мера Хаара на группе характеров , а
,
Обобщённое преобразование Фурье функций f (g ) и k (g ), которое продолжается до изоморфизма L 2 (G , dg ) в L 2 (, dc). Для некоммутативных групп ситуация во многом усложняется. Если G компактна, то представление группы операторов сдвига (или, короче, группы сдвигов) удаётся хорошо описать; в этом случае L 2 (G , dg ) распадается в прямую сумму конечномерных инвариантных относительно сдвигов подпространств. Если G некомпактна, то также получается разложение L 2 (G , dg ) на более простые инвариантные части, но уже не в прямую сумму, а в прямой интеграл.
Если G = , то теория унитарных представлений может быть сведена к теории самосопряжённых операторов. Именно, однопараметрическая группа унитарных операторов Т l , l Î в гильбертовом пространстве Н допускает представление Т l = exp i lA , где А - самосопряжённый оператор (теорема Стоун а); оператор А называется инфинитезимальным оператором (генератором) группы {Т" l }. Этот результат находит важные применения в изучении преобразований фазового пространства классической механики. Эта связь, а также приложения в статистической физике лежат в основе обширной ветви Функциональный анализ (математ.) - эргодической теории . Связь между однопараметрическими группами преобразований и их генераторами допускает значительные обобщения: операторы T l не обязаны быть унитарными, могут действовать в банаховых и более общих пространствах и даже быть определёнными лишь для l ³ 0 (т. н. теория полугрупп операторов). Этот раздел Функциональный анализ (математ.) имеет приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными и теории случайных (именно марковских) процессов.
Лит.: Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа 4 изд., М., 1976; Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; Вулих Б. З., Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М., 1961; Банах С. С., Курс функцioнального аналiзу Киïв, 1948; Рисс Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., 1950; Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, М., 1959; Красносельский М. А., Забрейко П. П., Геометрические методы нелинейного анализа, М., 1975; Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; Рудин У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975; Иосида К., Функциональный анализ, пер, с англ., М., 1967; Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 1-3, М., 1962-74; Хилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962; Эдвардс Р. Э., Функциональный анализ. Теория и приложения пер с англ., М., 1969.
Ю. М. Березанский, Б. М. Левитан.
Статья про слово "Функциональный анализ (математ.) " в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 6486 раз
Объекты управления, которые выражают характер, и содержание управляемых процессов являются весомыми признаками классификации видов анализа, применяемого к деятельности хозяйственного типа. Примечательным видом является функциональный анализ, который следует рассмотреть более подробно.
Понятие
Функциональный анализ представляет собой разновидность анализа, которая предполагает рассмотрение объекта, с точки зрения комплекса его функций, не учитывая его как материально-вещественную структуру. То есть его принимают не как совокупность конструктивных деталей, а как носитель определенной функции.
Предметом анализа этого типа являются причинно-следственные связи, структура функций и содержание конкретного продукта. Проведение исследований данного типа требует наличия специальных знаний.
Особенности функционального анализа
В объекте, подвергающемуся анализу, присутствуют полезные функции, которым сопутствуют нейтральные и негативные функции. Чтобы понять, что это означает, можно рассмотреть конкретный пример. Нож мясорубки выполняет три функции одновременно: нейтральную - нагрев продукта, полезную - его измельчение, а также негативную - сминает его. Из данной предпосылки исходит функциональный анализ. Стоит также понимать, что функции одного объекта могут быть для него полезными, а для других вредными или нейтральными.
Анализ данного типа позволяет сосредоточить все внимание на функциях рассматриваемого объекта, абстрагируясь от его исполнения. Дабы повысить степень выполнения и уменьшить затраты функций, производится поиск альтернативных вариантов для их реализации. Анализ этого вида может использоваться с целью совершенствования технических процессов и объектов.
Основные цели функционального анализа
Функциональный анализ применяется для достижения таких целей:
- Устранение лишних функций. Зачастую некоторые применяемые функции не соответствуют условиям нынешней экономической системы. По этой причине выполняется их обоснованное сокращение. Это можно делать с целью экономии средств, а также усовершенствования организационной структуры учреждения.
- Добавление необходимых недостающих функций. Например, для перехода к рыночной экономике может быть недостаточно административных функций. Вместе с тем некоторые из тех, которые имеются, уже давно устарели. Если заменить нейтральные функции полезными, это позволит улучшить деятельность предприятия.
- Рационализация в распределении. Дабы избежать снижения эффективности, следует обеспечить эффективное одновременное выполнение разных функций. Для этого необходимо выполнить их распределение рационально.
Функциональный анализ должен разрабатываться с предельной внимательностью, что позволит достичь поставленных целей.
Функциональные подходы
Структурно функциональный анализ представляет собой один из главнейших подходов к изучению социальных явлений. Он получил наибольше значение в теории организаций. В некоторых случаях социальный объект рассматривается как адаптивная система, составляющие которой удовлетворяют потребности системы в целом.
Функциональный стоимостной анализ представляет собой один из способов проведения системного исследования функций объекта. Благодаря ему можно найти баланс между полезностью объекта и его себестоимостью. Его применяют для совершенствования продукции и услуг.
Рассмотрев данное понятие, можно начать более углубленное изучение функционального анализа, которое позволит подробно изучить тему.
Сразу оговорюсь, что я не работаю по специальности и не являюсь экспертом в области теории функций и функционального анализа. Даже в аспирантуре я не учился, хотя и сдал все необходимые экзамены — слишком уж мало у нас зарабатывают молодые ученые, к сожалению (дело было пять лет назад, не знаю, как сейчас). А мне тогда хотелось пить пиво с друзьями и зажигать с девчонками по клубам. Поэтому, сразу после защиты магистерской, со скупой слезой на глазах я отверг предложение об аспирантуре в нашем мухосранском отделении института прикладной математики РАН, и полностью погрузился в унылые будни офиснопланктонского существования.
Ввиду вышесказанного, все ниженаписанное не может и не должно претендовать на строгость, точность или полноту изложения. Повторюсь, это лишь мой личный взгляд на предмет и оно должно расцениваться только как попытка приоткрыть завесу тайны для всех интересующихся — что же происходит там, за пределами “традиционной” высшей математики, матанализа и линейной алгебры, известных многим по первым курсам ВУЗов. Я лишь хочу сделать набросок в самых общих чертах, как выглядит это прекрасное загадочное далёко, на что оно похоже и можно ли его курить. Поэтому, уважаемые господа математики, физики и прочие Шелдоны Куперы, прошу вас строго меня не судить и по возможности понять и простить. К тому же это мой первый пост на dirty.ru. Да, и я буду очень рад вашим замечаниям и дополнениям в комментариях.
Причина глубокой сложности сего предмета в его высочайшей степени абстрактности. Абстрактность здесь настолько суровая, что даже всемогущий Чак Норрис, думаю, способен лажануть. Вы можете возразить, мол, математика — это же и так одна сплошная абстракция: интегралы, производные, матрицы, вот это все. Но нетушки, тут случай гораздо более запущенный. Тот же интеграл, например, можно вообразить в виде закрашенного кусочка под графиком функции:
Представление художника об определенном интеграле.
Аналогичным образом, если постараться, можно нарисовать себе картинку многих математических абстракций — производных, векторов, тензоров и даже, при желании, некоторых алгебраических структур, наподобие групп . Все это вполне себе прекрасно помещается в нашем воображении и дает более-менее правдоподобное представление о рассматриваемом объекте. Но когда дело доходит до функана, как и в случае с квантовой механикой, наступает облом — картинку изучаемых там процессов воображение рисовать наотрез отказывается. Дабы не быть голословным, давайте вместе попробуем состряпать типичный объект, изучаемый этой дисциплиной.
Строительство начнем с простого. Возьмем обычный отрезок — кусочек прямой, ограниченный двумя точками. Можно обозвать его более заумно — часть одномерного пространства, ограниченного с двух сторон. Про размерность пространства, думаю, все имеют определенное представление, останавливаться здесь не будем. Замечу лишь, что наше интуитивное представление о размерности пространства совпадает с точным занудным математическим определением.
Теперь, усложним наш объект — добавим к нему еще одно измерение и ограничим его там точно так же с двух сторон. Мы получили квадрат на плоскости, для понимания происходящего по-прежнему не требуется повышенное содержание пядей во лбу. Добавим еще одно измерение и мы увидим обычный куб. Правда если присмотреться, то обычный он только для нас с вами. А, скажем, для двумерных героев сериала “Симпсоны” трехмерный куб является объектом фантастическим, находящимся за гранью их понимания. Они этому факту даже кусочек хэллоуиновской серии посвятили .
Двигаемся дальше — нарастим еще одно, уже четвертое измерение. На сей раз мы имеем нечто интересное под названием “гиперкуб” или “ тессеракт ”. Вообразить этот объект может уже далеко не всякий. В расплющенном до нашего трехмерного пространства виде эта штука выглядит примерно так:
Плоский тессеракт
Кстати, вы заметили, что сделав всего несколько шагов к построению элементарнейшего объекта функционального анализа, наше воображение уже добралось до своего предела? Вот эти шаги, на картинке:
Рождение гиперкуба.
Ну что, не устали? Тогда двигаемся дальше. Продолжим наращивать измерения — пятое, шестое, седьмое, …, сто тридцатое, …, семь миллионов девятое,..., ЧислоГрэммовое , ЧислоГрэммаПлюсПервое, ….. Наш гиперкуб уже не просто гиперкуб, а супер-пупер-гиперкуб, но даже и эта штука не настолько крутая, чтобы на нее обратили внимание нерды с кафедры функционального анализа.
И что же делать? Как нам добраться до цели? Выход один: сделать количество измерений равным бесконечности.
За последнюю фразу, вообще говоря, на математическом симпозиуме можно получить по щщам с вертухи, т.к. равной бесконечности никакая величина быть не может, ибо бесконечность — это процесс. Но мы не на симпозиуме и я позволю себе пошалить и вдоволь покидаться умными и не очень словами не особо переживая за их точный математический смысл. Да простит меня за эти шалости почтенный Николя Бурбаки .
Итак, мы добрались до финиша, построив какую-то непонятную хреновину в виде куба с бесконечным количеством сторон. Забавный каламбур — несмотря на то, что всю дорогу у нас был куб, полученную сущность математики почему-то именуют шаром. Такой вот шар бесконечномерного пространства, а также само бесконечномерное пространство и действующие в нем всякие фиговины, под названием “отображения” — это и есть та самая неведомая хренотень , которую изучает функан. Такие дела.
Теперь вы имеете самое минимальное представление о том, над чем горбатятся яйцеголовые очкарики на средних и старших курсов мехмата. Дальше, как вы догадываетесь, будет только хуже.
Согласен, функан расширяет сознание похлеще некоторых веществ. Спасибо его основателям во главе со Стефананом Банахом за бесплатный опиум.
Сам функан, как это ни парадоксально, задумывался из желания унифицировать, и тем самым упростить жизнь математиков. Все дело в том, что огромная часть задач, встречающихся на практике, начиная от того, сколько бутылок водки надо купить на компанию из 14ти человек, чтоб всем хватило, заканчивая расчетом двигателя для Боинга, сводятся к различного рода уравнениям — алгебраическим, дифференциальным, интегральным и т.п.. На первый взгляд, может показаться, что все эти уравнения очень разные. Действительно, посмотрите, как они выглядят внешне:
Алгебраическое уравнение
Дифференциальное
Уравнение в частных производных
Интегральное уравнение
Бывают и другие типы уравнений, а так же целые системы из них, и они так же внешне не похожи на представленные здесь. Но это только на первый взгляд.
Дотошные математики давно стали замечать, что несмотря на всю кажущуюся непохожесть, решения абсолютно разных по своей природе уравнений ведут себя настораживающе сходным образом. Например, если А и В — это решения какого либо из приведенных выше примеров, то их сумма А+В тоже будет решением этого примера. И даже не просто сумма, а вот такая штука k*A+m*B , где k и m — это обычные числа (множители), так же сгодится под решение.
И вот, зацепившись за столь незначительный, с первого взгляда, факт, неутомимые матанщики умудрились построить целую теорию, позволяющую изучать все эти совершенно разные уравнения как одно и то же, не вдаваясь в их абсолютно разную природу и происхождение. В конце XIX — начале ХХ века до математиков медленно начало доходить, что во всех этих случаях происходит один и тот же процесс, записываемый символически вот так:
Расшифрую. Берется неизвестное х , затем оно пропускается через какую-то ерундовину F() , а на выходе из нее должна получиться некая заранее известная величина y . Задача — найти х . Кому как, но мне сей процесс удобно представлять при помощи мясорубки, где х — ингредиенты для фарша (неизвестное), F() — сама мясорубка, y — получившийся фарш:
Операторное уравнение 1-го рода
Забавно, но все принципы функционального анализа одинаково хорошо работают как для обычной мясорубки, так и для дифференциального уравнения. Поэтому, производство фарша будет хорошей аналогией для демонстрации прелестей сабжа.
Предметы в бесконечномерном пространстве ведут себя не так как в конечномерном. Например, теряет смысл понятие объема. В самом деле квадрат со стороной 2 имеет площадь (2D-объем) 2х2=4, объем 3D куба со стороной 2 равен 2х2х2=8, 4D, как не сложно догадаться 2х2х2х2=16 и т.д.. Соответственно, объем бесконечномерного куба будет равен бесконечности. В кубе с ребром 1 можно уместить бесконечное количество кубов с ребром 0,5, и при этом они не будут друг друга даже задевать. Классический матан на этом месте сдувается — ему же надо чтоб были бесконечно малые, пределы, вот это вот все (если кто помнит), а какие тут могут быть пределы, если даже бесконечно малый куб при ближайшем рассмотрении оказывается беспредельно большим? Ясен пень, что никаких.
Вообще, функан соотносится с обычным матаном примерно так же, как теория относительности с ньютоновской механикой. Как при малых скоростях Эйнштейн=Ньютон, точно так же и в конечномерных пространствах функан=матан.
Функциональный анализ имеет в своем арсенале несколько очень важных для приложений результатов, благодаря которым решается множество серьезных проблем в современных математике и физике. Жаль, что не все из них я смогу объяснить на примере фарша с мясорубкой.
Вернемся к нашим аналогиям. Итак, фарш — это продукт, который состоит из множества ингредиентов — свинина, говядина, баранина, соль, сало, перец и т.п.. Представим, что таких ингредиентов в нашем фарше смешивается бесконечное количество. Стало быть каждый конкретный рецепт приготовления фарша — это своего рода точка бесконечномерного пространства: если по оси говядины отложить столько-то кг, по оси свинины столько-то, по оси сала столько-то и т.д. мы получим точку в бесконечномерном пространстве по аналогии с трехмерной системой координат, где вместо осей XYZ идет бесконечное количество осей с ингредиентами.
Трехмерная система координат. Может быть расширена до бесконечномерной неограниченным добавлением осей.
Мясорубка — это предмет, который пропускает фарш через себя и тем самым меняет его состав. Пускай у нас будет немного волшебная мясорубка: скажем, она сможет менять количество ингредиентов в фарше — уменьшать объем соли или увеличивать содержание свинины в фарше, или все вместе, или все наоборот.
Если наш фарш математики привыкли именовать “точкой” или “вектором”, то мясорубку они будут называть “оператором”.
Попытаемся сформулировать в кухонных терминах одну из главных теорем функционального анализа — теорему Банаха об обратном операторе. Для солидности приведем ее обычную формулировку (прошу вас в нее не вдумываться — она здесь просто для картинки):
Теорема Банаха об обратном операторе. Пусть X, Y — банаховы пространства, оператор A ∈ L(X, Y) взаимооднозначно отображает X на все Y (т.е. KerA = {0}, ImA = Y). Тогда A непрерывно обратим.
Несмотря на всю суровость и непонятность формулировки, обозначает она лишь то, что если во-первых, мощность мясорубки не бесконечна, и во-вторых, при помощи этой мясорубки теоретически можно получить любой фарш с любой рецептурой, если подобрать правильные компоненты, то по-любому найдется такая волшебная антимясорубка, которая сможет восстанавливать из фарша исходные ингредиенты.
Проще говоря, эта теорема дает условия, при которых у мясорубки существует ей обратная антимясорубка. Естественный возникающий при этом вопрос: на кой оно нам вообще надо? А надо вот зачем. Если помните, то наша основная задача в мясорубочном процессе — это зная мясорубку и получившийся фарш, найти исходные для этого фарша ингредиенты. Иными словами мясорубка и фарш — это известные величины, ингредиенты — неизвестная величина.Если наша мясорубка подходит под условия теоремы, то гарантированно для нее найдется какая-то антимясорубка, пропустив через которую известную величину “фарш”, мы получим искомую величину “мясо”.
Забавно, что теорема не дает никакого понимания, как будет выглядеть сия антимясорубка, и как с ее помощью решить поставленную задачу. Теорема лишь говорит, что решение просто существует и все, какое оно — никто может и не знать. И математиков это вполне устраивает — для них порой узнать существует ли решение задачи или нет, важнее отыскания самого решения. На эту тему у них даже есть самоироничный анекдот:
В гостинице, куда поселились инженер, математик и физик, возник пожар. Инженер выбегает в коридор, видит на стене пожарный шланг, хватает его, открывает воду и заливает очаг возгорания. Физик, быстро прикинув объем горючих веществ, температуру пламени, теплоемкость воды и пара, атмосферное давление и т.п., наливает в стакан из графина строго определенное количество воды и заливает огонь этой водой. Математик выскакивает в коридор, видит на стене огнетушитель, и, обрадовано воскликнув: "Решение существует!", спокойно возвращается в номер...
Второй важный результат функана, который я попытаюсь объяснить на кулинарной основе, это спектральная теорема, являющаяся одним из главных кирпичей в фундаменте квантовой механики. Перед ее изложением я приведу несколько дополнительных понятий: компактное множество, базис пространства и собственные значения и векторы оператора.
Начнем с первого. Помните, выше мы увидели, что любой куб/шар бесконечномерного пространства имеет бесконечный объем? Выясняется, что, однако, не все объекты в функане бесконечны внутри. Самый простой пример — это конечномерный куб в бесконечномерном пространстве — его объем ограничен. Другие примеры конечного объема в бесконечномерном пространстве имеют более сложное строение, похожее на кусок швейцарского сыра, в котором дырок больше, чем самого сыра, из-за чего общий объем получается не таким уж и большим. Такие объекты называются компактными множествами (или компактами). Математикам удобнее считать, что компакты содержат свою границу, т.е. кожуру. Таким образом, типичным представителем компакта можно считать неочищенную от кожицы краковскую колбасу, в которую забыли добавить сало, и теперь вместо белых пятен у нее на срезе красуются пустоты.
Типичное компактное множество
Мясорубка (оператор) тоже может быть компактной. Ее так называют, если она умеет из фарша делать колбасу (по заумному: из шара делает компакт)
Второе нужное нам понятие — это базис. Базис, как не сложно догадаться, является однокоренным к слову “база”, т.е. “основа”. Так вот, базис — это набор ингредиентов, из которых мы собираемся с помощью мясорубки что-нибудь приготовить. Например, по-хорошему, краковская колбаса готовится из свинины, говядины, соли, перца и т.п.. Это и есть базис, на котором мы можем напридумывать кучу рецептов разных колбас. Однако, некоторые недобросовестные производители умудряются приготовить колбасу из совершенно другого набора продуктов: кенгурятины, барсучьего жира, сои, ароматизаторов, идентичных натуральным, и т.п.. На вкус эта “колбаса” будет неотличимой от “настоящей” краковской. Просто, она будет приготовленной на другой элементной базе. Так вот, эти два рецепта математики будут называть разложением краковской колбасы двум по разным базисам. Фактически это одна и та же точка, но только в разных системах координат.
2. Если мы засунем докторскую колбасу, и на выходе будем иметь тоже докторскую, то докторская колбаса тоже будет собственным вектором — состав же не поменялся.
3. А вот если на входе мы имеем краковскую, а на выходе любительскую, то краковская собственным вектором не будет — хим. состав поменялся же.
В общем, собственные вектора — это вектора, на которые оператор действует как множитель: увеличивает или уменьшает его длину (в нашем случае вес). В этих направлениях КПД мясорубки максимален.
Собственное число — это то, на сколько сильно меняется собственный вектор при прохождении через мясорубку. Если мы засунули килограмм свинины, а на выходе получили пять килограмм, то собственное число равно пяти.
Теперь мы обладаем достаточным багажом знаний для осмысления самой спектральной теоремы. В скучной формулировке она звучит следующим образом:
Спектральная теорема. Пусть A является компактным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве V. Существует ортонормированный базис пространства V, состоящий из собственных векторов оператора A. При этом все собственные значения вещественны.
Не очень понятно, правда? На наших гастрономических аналогиях это означает, что если наша мясорубка умеет делать краковскую колбасу, то из ее собственных векторов можно составить такой базисный набор продуктов, который окажется самым удобным при работе с этой мясорубкой из всех прочих.
Краковскую, напомним, можно приготовить из многих наборов продуктов: из божьей росы и одуванчиков, либо из пингвиньего жира и сои и т.д.. Но проще всего, с точки зрения трудозатрат на раскручивание мясорубки — это из говядины и свинины. И вот такой вот оптимальный набор продуктов для каждой конкретной задачи, и будет называться базисом из собственных векторов мясорубки (оператора). А спектральная теорема лишь указывает на существование и характер этого оптимального набора ингредиентов (базиса из собственных векторов) у отдельных видов мясорубок.
Эти собственные значения и вектора играют огромную роль в изучении физических процессов. Например, различные состояния элементарных частиц в квантовой физике — это различные собственные векторы квантовых мясорубок (операторов) Шредингера. А частота, с которой струна музыкального инструмента издает звук — это собственное значение мясорубки (уравнения), описывающей колебание струны.
Я привел всего пару фактов из функционального анализа, которые оказали огромное влияние на другие разделы научного знания. Конечно, у функана есть множество других, не менее важных достижений о которых не так-то просто доходчиво поведать в двух словах. И количество этих достижений неуклонно растет. Результаты, приведенные выше — это результаты лишь первой половины ХХ века. Современный функан ушел далеко вперед. Сейчас это не просто общая теория разрешимости уравнений. Нынешний функциональный анализ — это основной язык современной математики и физики, на котором формулируются результаты не только теории дифференциальных уравнений, но и результаты алгебры, геометрии, теории вероятностей, квантовой механики, теории струн и так далее. Список можно продолжать очень долго. Любой современный учебник по этим дисциплинам говорит языком бесконечномерных пространств и действующих в них операторах (соответственно языком фаршей и мясорубок). Такие дела.
Я очень надеюсь, что у меня получилось хотя бы немного приоткрыть тайну происходящего в высших разделах математики, и при этом продемонстрировать истинную внутреннюю простоту математической науки, несмотря на внешний пафос ее языка с множество непонятных символов и сложных слов. В общем, учите математику, она ум в порядок приводит (с).
Дата публикации: 05-10-2015 Функциональный анализ – математическая дисциплина, которая фактически является распространением линейной алгебры на бесконечномерных пространствах. Кроме того, характер вопросов, которые при этом рассматриваются, позволяет считать эту науку частью математического анализа. Предметом исследований в функциональном анализе является функционалы и операторы.Функциональный анализ как самостоятельная дисциплина развивался на рубеже 19 и 20 века и окончательно сформировался в 20-30 гг 20 века. С одной стороны он развился под влиянием исследования конкретных классов линейных операторов – интегральных операторов и связанных с ними интегральных уравнений, с другой – под влиянием чисто внутреннего развития современной математики с ее желанием обобщить и тем самым познать истинную природу тех или иных закономерностей. Огромное влияние на развитие функционального анализа имела квантовая механика, поскольку в ней физическим величинам, измеряемых соответствуют линейные операторы над пространством состояний физической системы.
1. Понятие пространства. Самыми общими пространствами, фигурирующих в функциональном анализе является топологические векторные пространства. Так называется векторный (линейный) пространство над полем комплексных чисел (или действительных). На пространстве может быть введена метрика – действительная функция от двух аргументов, принадлежащих этому пространству, результатом которой является «расстояние» между этими элементами. Слово расстояние использовано здесь в косвенном смысле. Пространство с метрикой называется метрическим пространством. Также отличают пространства, на которых аксиоматически определена норма элемента – «длина» вектора x, | | x | |. На нормированном пространстве всегда можно ввести метрику в виде f (x, y) = | | xy | |. Также в пространстве можно определить операцию скалярного произведения которую геометрически можно интерпретировать как угол между элементами. Пространства со скалярным произведением называются унитарными. Скалярное произведение порождает норму в пространстве таким образом: | | x | | 2 = (x, x). Пространство который является полным относительно нормы порожденной скалярным произведением этого пространства называется гильбертовом пространстве.
«Измеримость» пространства – максимальное количество линейно независимых элементов в этом пространстве. Безмежновимирний пространство это пространство, в котором для любого натурального числа n существует n линейно независимых элементов.
2. Функционал – это отражение, ставящего в соответствие каждому элементу данного пространства элемент из пространства действительных или комплексных чисел. Важную роль в функциональном анализе играют понятия непрерывных функционалов и линейных функционалов. Пространство всех линейных ограниченных и всюду определенных на пространстве Х функционалов называется сопряженным к X и обозначается Х "или Х *.
3. Оператор – отображение, ставящее в соответствие элемент одного пространства элемента с другой. L (X, Y) – пространство всех линейных, непрерывных, повсюду определенных в Х операторов. Преимущественно рассматриваются случаи когда X i Y – нормированные или Гильбертовы пространства. Оператор называется сопряженным к оператору А и обозначается А * если (А х, y) = (x, A * y). Очень важным является класс самоспряжених операторов – (A x, y) = (x, A y).
