Что значит симметрия. Что такое симметрия в математике? Определение и примеры
Понятие симметрии
проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до нашей эры. Слово “симметрия
” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей
”.
Его широко используют все без исключения направления современной науки. Немецкий математик Герман Вейль сказал: “Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство ”. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким образом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века.
1.1. Осевая симметрия
Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему (Рисунок 2.1). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.
Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a также принадлежит этой фигуре (Рисунок 2.2).
Прямая а называется осью симметрии фигуры.
Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.
Осевой симметрией обладают такие геометрические фигуры как угол, равнобедренный треугольник, прямоугольник, ромб (Рисунок 2.3).
Фигура может иметь не одну ось симметрии. У прямоугольника их две, у квадрата – четыре, у равностороннего треугольника – три, у круга – любая прямая, проходящая через его центр.
Если присмотреться к буквам алфавита (Рисунок 2.4)., то и среди них можно найти, имеющие горизонтальную или вертикальную, а иногда и обе оси симметрии. Объекты, имеющие оси симметрии достаточно часто встречаются в живой и неживой природе.
Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.
В своей деятельности человек создаёт много объектов (в том числе и орнаменты), имеющих несколько осей симметрии.
1.2 Центральная симметрия
Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе (Рисунок 2.5).
Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре .
Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм (Рисунок 2.6).
Точка О называется центром симметрии фигуры. В подобных случаях фигура обладает центральной симметрией. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма - точка пересечения его диагоналей.
Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии у прямой их бесконечно много - любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.
1.3. Поворотная симметрия
Предположим, что объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … В этом случае о поворотной симметрии, а указанную ось называют поворотной осью n-го порядка.
Рассмотрим примеры со всеми известными буквами «И » и «Ф ». Что касается буквы «И », то у нее есть так называемая поворотная симметрия. Если повернуть букву «И » на 180° вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой.
Иными словами, буква «И » симметрична относительно поворота на 180°. Заметим, что поворотной симметрией обладает также буква «Ф ».
На рисунке 2.7. даны примеры простых объектов с поворотными осями разного порядка – от 2-го до 5-го.
Симметрия
I
Симме́трия (от греч. symmetria - соразмерность)
в математике, 1) симметрия (в узком смысле), или отражение (зеркальное) относительно плоскости α в пространстве (относительно прямой а
на плоскости), - преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка М
переходит в точку M"
такую, что отрезок MM"
перпендикулярен плоскости α (прямой а
) и делится ею пополам. Плоскость α (прямая а
) называется плоскостью (осью) С. Отражение - пример ортогонального преобразования (См. Ортогональное преобразование), изменяющего ориентацию (См. Ориентация) (в отличие от собственного движения). Любое ортогональное преобразование можно осуществить последовательным выполнением конечного числа отражений - этот факт играет существенную роль в исследовании С. геометрических фигур. 2) Симметрия (в широком смысле) - свойство геометрической фигуры Ф
, характеризующее некоторую правильность формы Ф
, неизменность её при действии движений и отражений. Точнее, фигура Ф
обладает С. (симметрична), если существует нетождественное ортогональное преобразование, переводящее эту фигуру в себя. Совокупность всех ортогональных преобразований, совмещающих фигуру Ф
с самой собой, является группой (См. Группа), называемой группой симметрии этой фигуры (иногда сами эти преобразования называются симметриями). Так, плоская фигура, преобразующаяся в себя при отражении, симметрична относительно прямой - оси С. (рис. 1
); здесь группа симметрии состоит из двух элементов. Если фигура Ф
на плоскости такова, что повороты относительно какой-либо точки О на угол 360°/n
, n
- целое число ≥ 2, переводят её в себя, то Ф
обладает С. n
-го порядка относительно точки О
- центра С. Примером таких фигур являются правильные многоугольники (рис. 2
); группа С. здесь - т. н. циклическая группа n
-го порядка. Окружность обладает С. бесконечного порядка (поскольку совмещается с собой поворотом на любой угол). Простейшими видами пространственной С., помимо С., порожденной отражениями, являются центральная С., осевая С. и С. переноса. а) В случае центральной симметрии (инверсии) относительно точки О фигура Ф совмещается сама с собой после последовательных отражений от трёх взаимно перпендикулярных плоскостей, другими словами, точка О - середина отрезка, соединяющего симметричные точки Ф (рис. 3
). б) В случае осевой симметрии, или С. относительно прямой n
-го порядка, фигура накладывается на себя вращением вокруг некоторой прямой (оси С.) на угол 360°/n
. Например, куб имеет прямую AB
осью С. третьего порядка, а прямую CD
- осью С. четвёртого порядка (рис. 3
); вообще, правильные и полуправильные многогранники симметричны относительно ряда прямых. Расположение, количество и порядок осей С. играют важную роль в кристаллографии (см. Симметрия кристаллов), в) Фигура, накладывающаяся на себя последовательным вращением на угол 360°/2k
вокруг прямой AB
и отражением в плоскости, перпендикулярной к ней, имеет зеркально-осевую С. Прямая AB
, называется зеркально-поворотной осью С. порядка 2k
, является осью С. порядка k
(рис. 4
). Зеркально-осевая С. порядка 2 равносильна центральной С. г) В случае симметрии переноса фигура накладывается на себя переносом вдоль некоторой прямой (оси переноса) на какой-либо отрезок. Например, фигура с единственной осью переноса обладает бесконечным множеством плоскостей С. (поскольку любой перенос можно осуществить двумя последовательными отражениями от плоскостей, перпендикулярных оси переноса) (рис. 5
). Фигуры, имеющие несколько осей переноса, играют важную роль при исследовании кристаллических решёток (См. Кристаллическая решётка). В искусстве С. получила распространение как один из видов гармоничной композиции (См. Композиция). Она свойственна произведениям архитектуры (являясь непременным качеством если не всего сооружения в целом, то его частей и деталей - плана, фасада, колонн, капителей и т. д.) и декоративно-прикладного искусства. С. используется также в качестве основного приёма построения бордюров и Орнамент ов (плоских фигур, обладающих соответственно одной или несколькими С. переноса в сочетании с отражениями) (рис. 6
, 7
). Комбинации С., порожденные отражениями и вращениями (исчерпывающие все виды С. геометрических фигур), а также переносами, представляют интерес и являются предметом исследования в различных областях естествознания. Например, винтовая С., осуществляемая поворотом на некоторый угол вокруг оси, дополненным переносом вдоль той же оси, наблюдается в расположении листьев у растений (рис. 8
) (подробнее см. в ст. Симметрия в биологии). С. конфигурации молекул, сказывающаяся на их физических и химических характеристиках, имеет значение при теоретическом анализе строения соединений, их свойств и поведения в различных реакциях (см. Симметрия в химии). Наконец, в физических науках вообще, помимо уже указанной геометрической С. кристаллов и решёток, приобретают важное значение представления о С. в общем смысле (см. ниже). Так, симметричность физического пространства-времени, выражающаяся в его однородности и изотропности (см. Относительности теория), позволяет установить т. н. Сохранения законы ; обобщённая С. играет существенную роль в образовании атомных спектров и в классификации элементарных частиц (см. Симметрия
в физике). 3) Симметрия (в общем смысле) означает инвариантность структуры математического (или физического) объекта относительно его преобразований. Например, С. законов теории относительности определяется инвариантностью их относительно Лоренца преобразований (См. Лоренца преобразования). Определение совокупности преобразований, оставляющих без изменения все структурные соотношения объекта, т. е. определение группы G
его автоморфизмов, стало руководящим принципом современной математики и физики, позволяющим глубоко проникнуть во внутреннее строение объекта в целом и его частей. Поскольку такой объект можно представить элементами некоторого пространства Р
, наделённого соответствующей характерной для него структурой, постольку преобразования объекта являются преобразованиями Р
. Т. о. получается представление группы G
в группе преобразований Р
(или просто в Р
), а исследование С. объекта сводится к исследованию действия G
на Р
и отысканию инвариантов этого действия. Точно так же С. физических законов, управляющих исследуемым объектом и обычно описывающихся уравнениями, которым удовлетворяют элементы пространства Р
, определяется действием G
на такие уравнения. Так, например, если некоторое уравнение линейно на линейном же пространстве Р
и остаётся инвариантным при преобразованиях некоторой группы G
, то каждому элементу g
из G
соответствует линейное преобразование T g
в линейном пространстве R
решений этого уравнения. Соответствие g
→ T g
является линейным представлением G
и знание всех таких её представлений позволяет устанавливать различные свойства решений, а также помогает находить во многих случаях (из «соображений симметрии») и сами решения. Этим, в частности, объясняется необходимость для математики и физики развитой теории линейных представлений групп. Конкретные примеры см. в ст. Симметрия в физике. Лит.:
Шубников А. В., Симметрия. (Законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном искусстве), М. - Л., 1940; Кокстер Г. С. М., Введение в геометрию, пер. с англ., М., 1966; Вейль Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968; Вигнер Е., Этюды о симметрии, пер. с англ., М., 1971. М. И. Войцеховский.
Рис. 3. Куб, имеющий прямую AB осью симметрии третьего порядка, прямую CD - осью симметрии четвёртого порядка, точку О - центром симметрии. Точки М и M" куба симметричны как относительно осей AB и CD, так и относительно центра О. в физике. Если законы, устанавливающие соотношения между величинами, характеризующими физическую систему, или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определённых операциях (преобразованиях), которым может быть подвергнута система, то говорят, что эти законы обладают С. (или инвариантны) относительно данных преобразований. В математическом отношении преобразования С. составляют группу (См. Группа). Опыт показывает, что физические законы симметричны относительно следующих наиболее общих преобразований. Непрерывные преобразования
1) Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве. Это и последующие пространственно-временные преобразования можно понимать в двух смыслах: как активное преобразование - реальный перенос физической системы относительно выбранной системы отсчёта или как пассивное преобразование - параллельный перенос системы отсчёта. С. физических законов относительно сдвигов в пространстве означает эквивалентность всех точек пространства, т. е. отсутствие в пространстве каких-либо выделенных точек (однородность пространства). 2) Поворот системы как целого в пространстве. С. физических законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропию пространства). 3) Изменение начала отсчёта времени (сдвиг во времени). С. относительно этого преобразования означает, что физические законы не меняются со временем. 4) Переход к системе отсчёта, движущейся относительно данной системы с постоянной (по направлению и величине) скоростью. С. относительно этого преобразования означает, в частности, эквивалентность всех инерциальных систем отсчёта (См. Инерциальная система отсчёта) (см. Относительности теория). 5) Калибровочные преобразования. Законы, описывающие взаимодействия частиц, обладающих каким-либо зарядом (электрическим зарядом (См. Электрический заряд), барионным зарядом (См. Барионный заряд), лептонным зарядом (См. Лептонный заряд), Гиперзаряд ом), симметричны относительно калибровочных преобразований 1-го рода. Эти преобразования заключаются в том, что волновые функции (См. Волновая функция) всех частиц могут быть одновременно умножены на произвольный фазовый множитель: где ψ j
- волновая функция частицы j
, z j - соответствующий частице заряд, выраженный в единицах элементарного заряда (например, элементарного электрического заряда е
), β - произвольный числовой множитель. А
→ А + grad f, где f
(x
, у
, z, t
) - произвольная функция координат (х
, у
, z
) и времени (t
), с
- скорость света. Чтобы преобразования (1) и (2) в случае электромагнитных полей выполнялись одновременно, следует обобщить калибровочные преобразования 1-го рода: необходимо потребовать, чтобы законы взаимодействия были симметричны относительно преобразований (1) с величиной β, являющейся произвольной функцией координат и времени: Преобразования (1) отвечают законам сохранения различных зарядов (см. ниже), а также некоторым внутренним С. взаимодействия. Если заряды являются не только сохраняющимися величинами, но и источниками полей (как электрический заряд), то соответствующие им поля должны быть также калибровочными полями (аналогично электромагнитным полям), а преобразования (1) обобщаются на случай, когда величины β являются произвольными функциями координат и времени (и даже операторами (См. Операторы), преобразующими состояния внутренней С.). Такой подход в теории взаимодействующих полей приводит к различным калибровочным теориям сильных и слабых взаимодействий (т. н. Янга - Милса теория). Дискретные преобразования
Перечисленные выше типы С. характеризуются параметрами, которые могут непрерывно изменяться в некоторой области значений (например, сдвиг в пространстве характеризуется тремя параметрами смещения вдоль каждой из координатных осей, поворот - тремя углами вращения вокруг этих осей и т. д.). Наряду с непрерывными С. большое значение в физике имеют дискретные С. Основные из них следующие. Симметрия и законы сохранения
Согласно Нётер теореме (См. Нётер теорема), каждому преобразованию С., характеризуемому одним непрерывно изменяющимся параметром, соответствует величина, которая сохраняется (не меняется со временем) для системы, обладающей этой С. Из С. физических законов относительно сдвига замкнутой системы в пространстве, поворота её как целого и изменения начала отсчёта времени следуют соответственно законы сохранения импульса, момента количества движения и энергии. Из С. относительно калибровочных преобразований 1-го рода - законы сохранения зарядов (электрического, барионного и др.), из изотопической инвариантности - сохранение изотопического спина (См. Изотопический спин) в процессах сильного взаимодействия. Что касается дискретных С., то в классической механике они не приводят к каким-либо законам сохранения. Однако в квантовой механике, в которой состояние системы описывается волновой функцией, или для волновых полей (например, электромагнитного поля), где справедлив Суперпозиции принцип , из существования дискретных С. следуют законы сохранения некоторых специфических величин, не имеющих аналогов в классической механике. Существование таких величин можно продемонстрировать на примере пространственной чётности (См. Чётность), сохранение которой вытекает из С. относительно пространственной инверсии. Действительно, пусть ψ 1 - волновая функция, описывающая какое-либо состояние системы, а ψ 2 - волновая функция системы, получающаяся в результате пространств. инверсии (символически: ψ 2 = Р
ψ 1 , где Р
- оператор пространств. инверсии). Тогда, если существует С. относительно пространственной инверсии, ψ 2 является одним из возможных состояний системы и, согласно принципу суперпозиции, возможными состояниями системы являются суперпозиции ψ 1 и ψ 2: симметричная комбинация ψ s = ψ 1 + ψ 2 и антисимметричная ψ а = ψ 1 - ψ 2 . При преобразованиях инверсии состояние ψ 2 не меняется (т. к. P
ψ s = P
ψ 1 + P
ψ 2 = ψ 2 + ψ 1 = ψ s), а состояние ψ a меняет знак (P
ψ a = P
ψ 1 - P
ψ 2 = ψ 2 - ψ 1 = - ψ a). В первом случае говорят, что пространственная чётность системы положительна (+1), во втором - отрицательна (-1). Если волновая функция системы задаётся с помощью величин, которые не меняются при пространственной инверсии (таких, например, как момент количества движения и энергия), то вполне определённое значение будет иметь и чётность системы. Система будет находиться в состоянии либо с положительной, либо с отрицательной чётностью (причём переходы из одного состояния в другое под действием сил, симметричных относительно пространственной инверсии, абсолютно запрещены). Симметрия квантово-механических систем и стационарные состояния. Вырождение
Сохранение величин, отвечающих различным С. квантово-механические системы, является следствием того, что соответствующие им операторы коммутируют с гамильтонианом системы, если он не зависит явно от времени (см. Квантовая механика , Перестановочные соотношения). Это означает, что указанные величины измеримы одновременно с энергией системы, т. е. могут принимать вполне определённые значения при заданном значении энергии. Поэтому из них можно составить т. н. полный набор величин, определяющих состояние системы. Т. о., стационарные состояния (См. Стационарное состояние) (состояния с заданной энергией) системы определяются величинами, отвечающими С. рассматриваемой системы. Наличие С. приводит к тому, что различные состояния движения квантовомеханической системы, которые получаются друг из друга преобразованием С., обладают одинаковыми значениями физических величин, не меняющихся при этих преобразованиях. Т. о., С. системы, как правило, ведёт к вырождению (См. Вырождение). Например, определённому значению энергии системы может отвечать несколько различных состояний, преобразующихся друг через друга при преобразованиях С. В математическом отношении эти состояния представляют базис неприводимого представления группы С. системы (см. Группа). Это обусловливает плодотворность применения методов теории групп в квантовой механике. Помимо вырождения уровней энергии, связанного с явной С. системы (например, относительно поворотов системы как целого), в ряде задач существует дополнительное вырождение, связанное с т. н. скрытой С. взаимодействия. Такие скрытые С. существуют, например, для кулоновского взаимодействия и для изотропного Осциллятор а. Если система, обладающая какой-либо С., находится в поле сил, нарушающих эту С. (но достаточно слабых, чтобы их можно было рассматривать как малое возмущение), происходит расщепление вырожденных уровней энергии исходной системы: различные состояния, которые в силу С. системы имели одинаковую энергию, под действием «несимметричного» возмущения приобретают различные энергетические смещения. В случаях, когда возмущающее поле обладает некоторой С., составляющей часть С. исходной системы, вырождение уровней энергии снимается не полностью: часть уровней остаётся вырожденной в соответствии с С. взаимодействия, «включающего» возмущающее поле. Наличие в системе вырожденных по энергии состояний, в свою очередь, указывает на существование С. взаимодействия и позволяет в принципе найти эту С., когда она заранее не известна. Последнее обстоятельство играет важнейшую роль, например, в физике элементарных частиц. Существование групп частиц с близкими массами и одинаковыми др. характеристиками, но различными электрическими зарядами (т. н. изотопических мультиплетов) позволило установить изотопическую инвариантность сильных взаимодействий, а возможность объединения частиц с одинаковыми свойствами в более широкие группы привело к открытию SU
(3)-C
. сильного взаимодействия и взаимодействий, нарушающих эту С. (см. Сильные взаимодействия). Существуют указания, что сильное взаимодействие обладает ещё более широкой группой С. Весьма плодотворно понятие т. н. динамической С. системы, которое возникает, когда рассматриваются преобразования, включающие переходы между состояниями системы с различными энергиями. Неприводимым представлением группы динамической С. будет весь спектр стационарных состояний системы. Понятие динамической С. можно распространить и на случаи, когда гамильтониан системы зависит явно от времени, причём в одно неприводимое представление динамической группы С. объединяются в этом случае все состояния квантово-механической системы, не являющиеся стационарными (т. е. не обладающие заданной энергией). Лит.:
Вигнер Е., Этюды о симметрии, пер. с англ., М., 1971. С. С. Герштейн.
в химии проявляется в геометрической конфигурации молекул, что сказывается на специфике физических и химических свойств молекул в изолированном состоянии, во внешнем поле и при взаимодействии с другими атомами и молекулами. Большинство простых молекул обладает элементами пространственной симметрии равновесной конфигурации: осями симметрии, плоскостями симметрии и т. д. (см. Симметрия в математике). Так, молекула аммиака NH 3 обладает симметрией правильной треугольной пирамиды, молекула метана CH 4 - симметрией тетраэдра. У сложных молекул симметрия равновесной конфигурации в целом, как правило, отсутствует, однако приближённо сохраняется симметрия отдельных её фрагментов (локальная симметрия). Наиболее полное описание симметрии как равновесных, так и неравновесных конфигураций молекул достигается на основе представлений о т. н. динамических группах симметрии - группах, включающих не только операции пространственной симметрии ядерной конфигурации, но и операции перестановки тождественных ядер в различных конфигурациях. Например, динамическая группа симметрии для молекулы NH 3 включает также и операцию инверсии этой молекулы: переход атома N с одной стороны плоскости, образованной атомами Н, на другую её сторону. Симметрия равновесной конфигурации ядер в молекуле влечёт за собой определённую симметрию волновых функций (См. Волновая функция) различных состояний этой молекулы, что позволяет проводить классификацию состояний по типам симметрии. Переход между двумя состояниями, связанный с поглощением или испусканием света, в зависимости от типов симметрии состояний может либо проявляться в молекулярном спектре (См. Молекулярные спектры), либо быть запрещенным, так что соответствующая этому переходу линия или полоса будет отсутствовать в спектре. Типы симметрии состояний, между которыми возможны переходы, влияют на интенсивность линий и полос, а также и на их поляризацию. Например, у гомоядерных двухатомных молекул запрещены и не проявляются в спектрах переходы между электронными состояниями одинаковой чётности, электронные волновые функции которых ведут себя одинаковым образом при операции инверсии; у молекул бензола и аналогичных соединений запрещены переходы между невырожденными электронными состояниями одного и того же типа симметрии и т. п. Правила отбора по симметрии дополняются для переходов между различными состояниями правилами отбора, связанными со Спин ом этих состояний. У молекул с парамагнитными центрами симметрия окружения этих центров приводит к определённому типу анизотропии g
-фактора (Ланде множитель), что сказывается на структуре спектров электронного парамагнитного резонанса (См. Электронный парамагнитный резонанс), тогда как у молекул, ядра атомов которых обладают ненулевым спином, симметрия отдельных локальных фрагментов ведёт к определённому типу расщепления по энергии состояний с различными проекциями ядерного спина, что сказывается на структуре спектров ядерного магнитного резонанса (См. Ядерный магнитный резонанс). В приближённых подходах квантовой химии, использующих представление о молекулярных орбиталях, классификация по симметрии возможна не только для волновой функции молекулы в целом, но и для отдельных орбиталей. Если у равновесной конфигурации молекулы имеется плоскость симметрии, в которой лежат ядра, то все орбитали этой молекулы разбиваются на два класса: симметричные (σ) и антисимметричные (π) относительно операции отражения в этой плоскости. Молекулы, у которых верхними (по энергии) занятыми орбиталями являются π-орбитали, образуют специфические классы ненасыщенных и сопряжённых соединений с характерными для них свойствами. Знание локальной симметрии отдельных фрагментов молекул и локализованных на этих фрагментах молекулярных орбиталей позволяет судить о том, какие фрагменты легче подвергаются возбуждению и сильнее меняются в ходе химических превращений, например при фотохимических реакциях. Представления о симметрии имеют важное значение при теоретическом анализе строения комплексных соединений, их свойств и поведения в различных реакциях. Теория кристаллического поля и теория поля лигандов устанавливают взаимное расположение занятых и вакантных орбиталей комплексного соединения на основе данных о его симметрии, характер и степень расщепления энергетических уровней при изменении симметрии поля лигандов. Знание одной лишь симметрии комплекса очень часто позволяет качественно судить о его свойствах. В 1965 P. Вудворд и Р. Хоффман выдвинули принцип сохранения орбитальной симметрии при химических реакциях, подтвержденный впоследствии обширным экспериментальным материалом и оказавший большое влияние на развитие препаративной органической химии. Этот принцип (правило Вудворда - Хоффмана) утверждает, что отдельные элементарные акты химических реакций проходят с сохранением симметрии молекулярных орбиталей, или орбитальной симметрии. Чем больше нарушается симметрия орбиталей при элементарном акте, тем труднее проходит реакция. Учёт симметрии молекул важен при поиске и отборе веществ, используемых при создании химических лазеров и молекулярных выпрямителей, при построении моделей органических сверхпроводников, при анализе канцерогенных и фармакологически активных веществ и т. д. Лит.:
Хохштрассер Р., Молекулярные аспекты симметрии, пер. с англ., М., 1968; Болотин А. Б., Степанов Н. ф.. Теория групп и ее применения в квантовой механике молекул, М., 1973; Вудворд Р., Хоффман Р., Сохранение орбитальной симметрии, пер. с англ., М., 1971. Н. Ф. Степанов.
в биологии (биосимметрия). На явление С. в живой природе обратили внимание ещё в Древней Греции пифагорейцы (5 в. до н. э.) в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 в. появились единичные работы, посвященные С. растений (французские учёные О. П. Декандоль, О. Браво), животных (немецкий - Э. Геккель), биогенных молекул (французские - А. Вешан, Л. Пастер и др.). В 20 в. биообъекты изучали с позиций общей теории С. (советские учёные Ю. В. Вульф, В. Н. Беклемишев, Б. К. Вайнштейн, голландский физикохимик Ф. М. Егер, английский кристаллографы во главе с Дж. Берналом) и учения о правизне и левизне (советские учёные В. И. Вернадский, В. В. Алпатов, Г. Ф. Гаузе и др.; немецкий учёный В. Людвиг). Эти работы привели к выделению в 1961 особого направления в учении о С. - биосимметрики. Наиболее интенсивно изучалась структурная С. биообъектов. Исследование С. биоструктур - молекулярных и надмолекулярных - с позиций структурной С. позволяет заранее выявить возможные для них виды С., а тем самым число и вид возможных модификаций, строго описывать внешнюю форму и внутреннее строение любых пространственных биообъектов. Это привело к широкому использованию представлений структурной С. в зоологии, ботанике, молекулярной биологии. Структурная С. проявляется прежде всего в виде того или иного закономерного повторения. В классической теории структурной С., развитой немецким учёным И. Ф. Гесселем, Е. С. Федоровым (См. Фёдоров) и другими, вид С. объекта может быть описан совокупностью элементов его С., т. е. таких геометрических элементов (точек, линий, плоскостей), относительно которых упорядочены одинаковые части объекта (см. Симметрия в математике). Например, вид С. цветка флокса (рис. 1
, в) - одна ось 5-го порядка, проходящая через центр цветка; производимые посредством её операции - 5 поворотов (на 72, 144, 216, 288 и 360°), при каждом из которых цветок совпадает с самим собой. Вид С. фигуры бабочки (рис. 2
, б) - одна плоскость, делящая её на 2 половины - левую и правую; производимая посредством плоскости операция - зеркальное отражение, «делающее» левую половинку правой, правую - левой, а фигуру бабочки совмещающей с самой собой. Вид С. радиолярии Lithocubus geometricus (рис. 3
, б), помимо осей вращения и плоскостей отражения содержит ещё и центр С. Любая проведённая через такую единственную точку внутри радиолярии прямая по обе стороны от неё и на равных расстояниях встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры. Операции, производимые посредством центра С., - отражения в точке, после которых фигура радиолярии также совмещается сама с собой. В живой природе (как и в неживой) из-за различных ограничений обычно встречается значительно меньшее число видов С., чем возможно теоретически. Например, на низших этапах развития живой природы встречаются представители всех классов точечной С. - вплоть до организмов, характеризующихся С. правильных многогранников и шара (см. рис. 3
). Однако на более высоких ступенях эволюции встречаются растения и животные в основном т. н. аксиальной (вида n
) и актиноморфной (вида n
(m
) С
. (в обоих случаях n
может принимать значения от 1 до ∞). Биообъекты с аксиальной С. (см. рис. 1
) характеризуются лишь осью С. порядка n
. Биообъекты сактиноморфной С. (см. рис. 2
) характеризуются одной осью порядка n
и пересекающимися по этой оси плоскостями m
. В живой природе наиболее распространены С. вида n
=
1 и 1․m =
m
, называется соответственно асимметрией (См. Асимметрия) и двусторонней, или билатеральной, С. Асимметрия характерна для листьев большинства видов растений, двусторонняя С. - до известной степени для внешней формы тела человека, позвоночных животных и многих беспозвоночных. У подвижных организмов такая С., по-видимому, связана с различиями их движении вверх-вниз и вперёд-назад, тогда как их движения направо-налево одинаковы. Нарушение у них билатеральной С. неизбежно привело бы к торможению движения одной из сторон и превращению поступательного движения в круговое. В 50-70-х гг. 20 в. интенсивному изучению (прежде всего в СССР) подверглись т. н. диссимметрические биообъекты (рис. 4
). Последние могут существовать по крайней мере в двух модификациях - в форме оригинала и его зеркального отражения (антипода). При этом одна из этих форм (неважно какая) называется правой или D (от лат. dextro), другая - левой или L (от лат. laevo). При изучении формы и строения D- и L-биообъектов была развита теория диссимметризующих факторов, доказывающая возможность для любого D- или L-объекта двух и более (до бесконечного числа) модификаций (см. также рис. 5
); одновременно в ней содержались и формулы для определения числа и вида последних. Эта теория привела к открытию т. н. биологической изомерии (См. Изомерия) (разных биообъектов одного состава; на рис. 5
изображены 16 изомеров листа липы). При изучении встречаемости биообъектов было установлено, что в одних случаях преобладают D-, в других L-формы, в третьих они представлены одинаково часто. Бешаном и Пастером (40-е гг. 19 в.), а в 30-х гг. 20 в. советским учёным Г. Ф. Гаузе и другими было показано, что клетки организмов построены только или преимущественно из L-amинокислот, L-белков, D-дезоксирибонуклеиновых кислот, D-сахаров, L-алкалоидов, D- и L-терпенов и т. д. Столь фундаментальная и характерная черта живых клеток, названная Пастером диссимметрией протоплазмы, обеспечивает клетке, как было установлено в 20 в., более активный обмен веществ и поддерживается посредством сложных биологических и физико-химических механизмов, возникших в процессе эволюции. Сов. учёный В. В. Алпатов в 1952 на 204 видах сосудистых растений установил, что 93,2% видов растений относятся к типу с L-, 1,5% - с D-ходом винтообразных утолщений стенок сосудов, 5,3% видов - к типу рацемическому (число D-сосудов примерно равно числу L-сосудов). При изучении D- и L-биообъектов было установлено, что равноправие между D-и L-формами в ряде случаев нарушено из-за различия их физиологических, биохимических и др. свойств. Подобная особенность живой природы была названа диссимметрией жизни. Так, возбуждающее влияние L-amинокислот на движение плазмы в растительных клетках в десятки и сотни раз превосходит такое же действие их D-форм. Многие антибиотики (пенициллин, грамицидин и др.), содержащие D-amинокислоты, обладают большей бактерицидностью, чем их формы c L-amинокислотами. Чаще встречающиеся винтообразные L-kopнеплоды сахарной свёклы на 8-44% (в зависимости от сорта) тяжелее и содержат на 0,5-1% больше сахара, чем D-kopнеплоды.
, (2)
η - Планка постоянная. Связь калибровочных преобразований 1-го и 2-го рода для электромагнитных взаимодействий обусловлена двоякой ролью электрического заряда: с одной стороны, электрический заряд является сохраняющейся величиной, а с другой - он выступает как константа взаимодействия, характеризующая связь электромагнитного поля с заряженными частицами.
Понимать, что такое симметрия в математике, необходимо, чтобы в дальнейшем освоить базовые и продвинутые темы алгебры, геометрии. Немаловажно это и для понимания черчения, архитектуры, правил построения рисунка. Несмотря на тесную связь с самой точной наукой - математикой, симметрия важна и для артистов, художников, творцов, и для тех, кто занимается научной деятельностью, причем в любой области.
Общая информация
Не только математика, но и естественные науки во многом основаны на понятии симметрии. Более того, оно встречается в повседневной жизни, является одним из базовых для природы нашей Вселенной. Разбираясь, что такое симметрия в математике, необходимо упомянуть, что существует несколько типов этого явления. Принято говорить о таких вариантах:
- Двустороннем, то есть такой, когда симметрия зеркальная. Это явление в ученой среде принято именовать «билатеральным».
- Эн-ном порядке. Для этого понятия ключевое явление - это угол поворота, вычисляемый разделением 360 градусов на некоторую заданную величину. Кроме того, заранее определяется ось, вокруг которой эти повороты совершаются.
- Падиальная, когда явление симметрии наблюдают, если повороты совершатся произвольно на некоторый случайный по величине угол. Ось также выбирается независимым образом. Для описания такого явления применяют группу SO(2).
- Сферическая. В этом случае речь идет о трех измерениях, в которых объект вращают, выбирая произвольные углы. Выделяют конкретный случай изотропии, когда явление становится локальным, свойственным среде либо пространству.
- Вращательная, соединившая в себе две описанные ранее группы.
- Лоренц-инвариативная, когда имеют место произвольные вращения. Для этого типа симметрии ключевым понятием становится «пространство-время Минковского».
- Супер, определяемая как замена бозонов фермионами.
- Высшая, выявляемая в ходе группового анализа.
- Трансляционная, когда имеются сдвиги пространства, для которых ученые выявляют направление, расстояние. На основе полученных данных проводят сравнительный анализ, позволяющий выявить симметрию.
- Калибровочная, наблюдаемая в случае независимости калибровочной теории при соответствующих преобразованиях. Здесь особенное внимание обращают на теорию поля, в том числе фокусируются на идеях Янга-Миллса.
- Кайно, принадлежащая к классу электронных конфигураций. О том, что представляет собой такая симметрия, математика (6 класс) представления не имеет, ведь это наука высшего порядка. Явление обусловлено вторичной периодичностью. Было открыто в ходе научной работы Е. Бирона. Терминология введена С. Щукаревым.
Зеркальная
Во время обучения в школе учащихся практически всегда просят сделать работу «Симметрия вокруг нас» (проект по математике). Как правило, ее рекомендуют к выполнению в шестом классе обычной школы с общей программой преподавания предметов. Чтобы справиться с проектом, необходимо сперва ознакомиться с понятием симметрии, в частности, выявить, что представляет собой зеркальный тип как один из базовых и наиболее понятных для детей.
Для выявления явления симметрии рассматривают конкретную геометрическую фигуру, а также выбирают плоскость. Когда говорят о симметричности рассматриваемого объекта? Сперва на нем выбирают некоторую точку, а затем находят для нее отражение. Между ними двумя проводят отрезок и вычисляют, под каким углом к выбранной ранее плоскости он проходит.
Разбираясь, что такое симметрия в математике, помните, что выбранная для выявления этого явления плоскость будет называться именно плоскостью симметрии и никак иначе. Проведенный отрезок должен пересекаться с ней под прямым углом. Расстояние от точки до этой плоскости и от нее до второй точки отрезка должно быть равным.
Нюансы
О чем еще интересном можно узнать, разбирая такое явление, как симметрия? Математика (6 класс) рассказывает, что две фигуры, считающиеся симметричными, совсем не обязательно идентичны друг другу. Понятие равности существует в узком и широком смысле. Так вот, симметричные объекты в узком - не одно и то же.
Какой пример из жизни можно привести? Элеметарный! Что скажете насчет наших перчаток, варежек? Мы все привыкли их носить и знаем, что терять нельзя, ведь вторую такую в пару уже не подобрать, а значит, покупать придется обе заново. А все почему? Потому что парные изделия, хотя и симметричны, но рассчитаны на левую и правую руку. Это - типичный пример зеркальной симметрии. Что касается равности, то такие объекты признают «зеркально равными».
А что с центром?
Рассматривать центральную симметрию начинают с определения свойств тела, применительно к которому необходимо оценить явление. Чтобы назвать его симметричным, сперва выбирают некоторую точку, расположенную по центру. Далее выбирают точку (условно назовем ее А) и ищут для нее парную (условно обозначим Е).
При определении симметричности точки А и Е соединяют между собой прямой линией, захватывающей центральную точку тела. Далее измеряют получившуюся прямую. Если отрезок от точки А до центра объекта равен отрезку, отделяющему центр от точки Е, можно говорить о том, что найден центр симметрии. Центральная симметрия в математике - одно из ключевых понятий, позволяющих далее развивать теории геометрии.
А если вращаем?
Разбирая, что такое симметрия в математике, нельзя упустить из внимания понятие вращательного подтипа этого явления. Для того чтобы разобраться с терминами, берут тело, имеющее центральную точку, а также определяют целое число.
В ходе эксперимента заданное тело вращают на угол, равный результату деления 360 градусов на выбранный целый показатель. Для этого необходимо знать, что такое (2 класс, математика, школьная программа). Эта ось - прямая, соединяющая две выбранные точки. О симметрии вращения можно говорить, если при выбранном угле поворота тело будет находиться в том же положении, как и до проведения манипуляций.
В том случае, когда натуральным числом было выбрано 2, и обнаружено явление симметрии, говорят, что определена осевая симметрия в математике. Такая характерна для ряда фигур. Типичный пример: треугольник.
О примерах подробнее
Практика многолетнего преподавания математики и геометрии в средней школе показывает, что проще всего с явлением симметрии разобраться, объясняя его на конкретных примерах.
Для начала рассмотрим сферу. Для такого тела одновременно свойственны явления симметричности:
- центральной;
- зеркальной;
- вращательной.
В качестве главной выбирают точку, расположенную точно по центру фигуры. Чтобы подобрать плоскость, определяют большой круг и словно бы «нарезают» его на пласты. О чем говорит математика? Поворот и центральная симметрия в случае шара - понятия взаимосвязанные, при этом диаметр фигуры будет служить осью для рассматриваемого явления.
Еще один наглядный пример - круглый конус. Для этой фигуры свойственна В математике и архитектуре это явление нашло широкое теоретическое и практическое применение. Обратите внимание: в качестве оси для явления выступает ось конуса.
Наглядно демонстрирует изучаемое явление Этой фигуре свойственна зеркальная симметрия. Плоскостью выбирают «срез», параллельный основаниям фигуры, удаленный от них на равные промежутки. Создавая геометрический, начертательный, архитектурный симметрия важна не меньше, чем точным и начертательным наукам), помните о применимости на практике и пользе при планировании несущих элементов явления зеркальности.
А если более интересные фигуры?
О чем нам может рассказать математика (6 класс)? Центральная симметрия есть не только в таком простом и понятном объекте, как шар. Она свойственна и более интересным и сложным фигурам. Например, таков параллелограмм. Для такого объекта центральной точкой становится та, в которой пересекаются его диагонали.
А вот если рассматривать равнобедренную трапецию, то это будет фигура с осевой симметрией. Выявить ее можно в том случае, если правильно выбрать ось. Тело симметрично относительно линии, перпендикулярной основанию и пересекающей его ровно посередине.
Симметрия в математике и архитектуре обязательно учитывает ромб. Эта фигура примечательна тем, что одновременно объединяет в себе два типа симметричности:
- осевой;
- центральный.
В качестве оси необходимо выбрать диагональ объекта. В том месте, где диагонали ромба пересекаются, расположен его центр симметрии.
О красоте и симметрии
Формируя проект математике, симметрия для которого была бы ключевой темой, обычно в первую очередь вспоминают мудрые слова великого ученого Вейля: «Симметрия - это идея, которую долгие века пытается понять обычный человек, ведь именно она создает совершенную красоту через уникальный порядок».
Как известно, иные предметы кажутся большинству прекрасными, в то время как другие отталкивают, даже если в них нет очевидных изъянов. Почему так происходит? Ответ на этот вопрос показывает взаимосвязь архитектуры и математики в симметрии, ведь именно это явление и становится основой оценки предмета как эстетически привлекательного.
Одна из самых красивых женщин на нашей планете - это супермодель Кисти Тарликтон. Она уверена, что к успеху пришла в первую очередь благодаря уникальному явлению: ее губы симметричны.
Как известно, природа и тяготеет к симметрии, и не может ее достичь. Это не общее правило, но взгляните на окружающих людей: в человеческих лицах практически не найти абсолютной симметрии, хотя очевидно стремление к ней. Чем более симметрично лицо собеседника, тем он кажется красивее.
Как симметрия стала идеей о прекрасном
Удивительно, что на симметричности основано восприятие человеком красоты окружающего его пространства и объектов в нем. Долгие века люди стремятся понять, что же кажется прекрасным, а что отталкивает нелицеприятностью.
Симметричность, пропорции - вот то, что помогает визуально воспринимать некоторый объект и оценивать его положительно. Все элементы, части должны быть сбалансированы и находиться в разумных пропорциях друг с другом. Уже давно выяснили, что асимметричные предметы нравятся людям гораздо меньше. Все это связывают с понятием «гармония». Над тем, почему это так важно для человека, с древних пор ломали головы мудрецы, артисты, художники.
Стоит приглядеться к геометрическим фигурам, и явление симметрии станет очевидным и доступным для понимания. Наиболее типичные симметричные явления в окружающем нас пространстве:
- горные породы;
- цветы и листья растений;
- парные наружные органы, присущие живым организмам.
Описанные явления имеют источником саму природу. А вот что можно увидеть симметричного, приглядевшись к изделиям человеческих рук? Заметно, что люди тяготеют к созданию именно такового, если стремятся сделать нечто красивое или функциональное (или и такое, и такое одновременно):
- узоры и орнаменты, популярные с древних времен;
- строительные элементы;
- элементы конструкций техники;
- рукоделие.
О терминологии
«Симметрия» - слово, пришедшее в наш язык от древних греков, впервые обративших на это явление пристальное внимание и попытавшихся изучить его. Термин обозначает наличие некоторой системы, а также гармоничное сочетание частей объекта. Переводя слово «симметрия», можно подобрать в качестве синонимов:
- пропорциональность;
- одинаковость;
- соразмерность.
С древних пор симметрия является важным понятием для развития человечества в разных областях и отраслях. Народы с древности имели общие представления об этом явлении, преимущественно рассматривая его в широком смысле. Симметрия обозначала гармоничность и уравновешенность. В наше время терминологию преподают в обычной школе. Например, что такое (2 класс, математика) детям рассказывает учительница на обычном занятии.
Как идея это явление зачастую становится начальным посылом научных гипотез и теорий. Особенно популярно это было в прежние столетия, когда по всему миру властвовала идея математической гармонии, присущей самой системе мироздания. Знатоки тех эпох были убеждены, что симметричность есть проявление божественной гармонии. А вот в Древней Греции философы уверяли, что симметрична вся Вселенная, и все это базировалось по постулате: «Симметрия прекрасна».
Великие греки и симметрия
Симметричность будоражила умы известнейших ученых Древней Греции. До наших дней дошли свидетельства того, что Платон призывал отдельно восхищаться По его мнению, такие фигуры - это олицетворения стихий нашего мира. Существовала следующая классификация:
Во многом именно из-за этой теории принято именовать правильные многогранники платоновыми телами.
А вот терминологию ввели еще раньше, и тут не последнюю роль сыграл скульптор Поликлет.
Пифагор и симметрия
В период жизни Пифагора и в последующем, когда его учение переживало свой расцвет, явление симметрии удалось четко оформить. Именно тогда симметричность подверглась научному анализу, давшему важные для практического применения результаты.
Согласно полученным выводам:
- Симметрия базируется на понятиях пропорций, однообразности и равенства. При нарушении того или иного понятия фигура становится менее симметричной, постепенно переходя в полностью асимметричную.
- Существует 10 противоположных пар. Согласно учению, симметрия представляет собой явление, сводящее в единое противоположности и тем самым формирующее вселенную в целом. Этот постулат долгие века оказывал сильное влияние на ряд наук как точных, так и философских, а также естественных.
Пифагор и его последователи выделяли «совершенно симметричные тела», к которым причисляли удовлетворяющие условиям:
- каждая грань - многоугольник;
- грани встречаются в углах;
- фигура должна иметь равные стороны и углы.
Именно Пифагор первым сказал, что таковых тел существует всего лишь пять. Это великое открытие положило начало геометрии и исключительно важно для современной архитектуры.
А вы хотите своими глазами увидеть самое прекрасное явление симметрии? Поймайте зимой снежинку. Удивительно, но факт - это крошечный кусочек падающего с неба льда имеет не только крайне сложную кристаллическую структуру, но еще и идеально симметричен. Рассмотрите ее внимательно: снежинка действительно прекрасна, а ее сложные линии завораживают.
Симметрия (от греческого -συμμετρία- означает соразмерность) - это пропорциональность или гармония в расположении одинаковых предметов какой-либо группы или частей в одном предмете, причем гармоничное расположение определяется одной или несколькими воображаемыми зеркальными плоскостями.
Отдельные предметы или части симметричного предмета являются как бы отражениями или изображениями друг друга в этих зеркальных плоскостях, называются плоскостями симметрии. Простейшим случаем симметрии является такое расположение частей целого, при котором целое делится на две. Через человеческое тело можно мысленно провести зеркальную плоскость; правая и левая части его явятся как бы изображениями друг друга в этом зеркале и будут совместимо равны, как например правая и левая рука.
Если группа или предмет состоит лишь из совместимых частей, то в них можно провести так называемые оси симметрии и совместить равные части, повернув их вокруг этих осей. Кроме зеркальных плоскостей и осей симметрии есть еще зеркальная точка, или центр симметрии. В нем делятся пополам все прямые, соединяющие попарно одинаковые точки предметов группы или частей одного предмета. Зеркальная плоскость, ось симметрии и центр симметрии называют элементами симметрии и могут быть сведены к зеркальным плоскостям и их сочетаниям.
Симметрия очень широко распространена в природе и в творениях человека. Всё учение о кристаллах (Кристаллография) основано на теории симметрии.
В растительном мире также очень распространена симметрия и обнаруживается в расположении органов цветка, частей его листа и даже ветвей. В животном мире симметрия наблюдается не так строго, но также очень распространена. С наружной симметрией стоит в согласии и внутреннее строение животных, растений и кристаллов.
С помощью теории групп описываются симметрийные свойства в математике.
В творениях человека симметрия больше всего проявляете в архитектуре.
Какое-либо нарушение симметрии или её отсутствие вообще называется асимметрией.
Понятие симметрии встречается как во многих областях человеческой жизни, культуры и искусства, так и в сфере научных знаний. Но что такое симметрия? В переводе с древнегреческого языка это – соразмерность, неизменность, соответствие. Говоря о симметрии, мы часто имеем в виду пропорциональность, упорядоченность, гармоничную красоту в расположении элементов некоей группы или составляющих какого-то предмета.
В физике симметрии в уравнениях, описывающих поведение системы, помогают упростить решение с помощью нахождения сохраняющихся величин.
В химии симметрия в расположении молекул объясняет ряд свойств кристаллографии, спектроскопии или квантовой химии.
В биологии симметрией называются закономерно расположенные относительно центра или оси симметрии формы живого организма или одинаковые части тела. Симметрия в природе не бывает абсолютной, в ней обязательно содержится некоторая асимметрия, т.е. подобные части могут не совпадать со стопроцентной точностью.
Симметрию часто можно встретить в символах мировых религий и в повторяющихся моделях социальных взаимодействий.
Что такое симметрия в математике
В математике симметрию и ее свойства описывает теория групп. Симметрией в геометрии является способность фигур к отображению, при сохранении свойств и формы.
В широком смысле фигура F обладает симметрией, если существует линейное преобразование, которое переводит эту фигуру в саму себя.
В более узком смысле симметрией в математике называется зеркальное отражение относительно прямой с на плоскости или относительно плоскости с в пространстве.
Что такое ось симметрии
Преобразование пространства относительно плоскости с или прямой с считается симметричным, если при этом каждая точка В переходит в точку В" так, чтобы отрезок В В" оказался перпендикулярен этой плоскости или прямой и делился бы ею пополам. В этом случае плоскость с называется плоскостью симметрии, прямая с – осью симметрии. Геометрические фигуры, например правильные многоугольники, могут иметь по несколько осей симметрии, а окружность и шар обладают бесконечным числом таких осей.
К простейшим типам пространственной симметрии относятся:
- зеркальная (порожденная отражениями);
- осевая;
- центральная;
- симметрия переноса.
Что такое осевая симметрия
Симметрия относительно оси или линии пересечения плоскостей называется осевой. Она предполагает, что если через каждую точку оси симметрии провести перпендикуляр, то на нем всегда можно найти 2 симметричные точки, расположенные на одинаковом расстоянии от оси. В правильных многоугольниках осями симметрии могут являться их диагонали или средние линии. В окружности оси симметрии - ее диагонали.
Что такое центральная симметрия
Симметрия относительно точки называется центральной. В этом случае на равном расстоянии от точки по обе ее стороны находятся другие точки, геометрические фигуры, прямые или кривые линии. При соединении симметричных точек прямой, проходящей через точку симметрии, они будут расположены на концах этой прямой, а серединой ее явится как раз точка симметрии. А если вращать эту прямую, закрепив точку симметрии, то симметричные точки опишут кривые так, что каждая точка одной кривой линии будет симметрична такой же точке другой кривой линии.
