Множества и действия над ними. Множества и операции над множествами
Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции.
Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.
Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом.
Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.
Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.
Если элемент x
принадлежит множеству X
, то записывают x
∈ Х
(∈
— принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В
(⊂
— содержится).
Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.
Например, перечислением заданы следующие множества:- А={1,2,3,5,7} — множество чисел
- Х={x 1 ,x 2 ,...,x n } — множество некоторых элементов x 1 ,x 2 ,...,x n
- N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел
- Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел
Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой , а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а .
Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным . Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.
Основные числовые множества
| N | {1,2,3,...,n} Множество всех |
| Z | {0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных. |
| Q |
Множество рациональных чисел . Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь — это выражение вида , где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = 2/1. Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической. |
| R |
Множество всех вещественных чисел . Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся: Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел. |
Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø .
Элементы логической символики
Запись ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.
КванторПри записи математических выражений часто используются кванторы.
Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.
- ∀- квантор общности , используется вместо слов "для всех", "для любого".
- ∃- квантор существования , используется вместо слов "существует", "имеется". Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.
Операции над множествами
Два множества А и В равны
(А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.
Объединением (суммой)
множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}
Пересечением (произведением)
множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}
Разностью
множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}
Симметричной разностью
множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}
Свойства операций над множествами
Свойства перестановочностиA ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Счетные и несчетные множества
Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.
Если это соответствие взаимооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А В или В А.
Пример 1Множество точек катета ВС и гипотенузы АС треугольника АВС являются равномощными.
После того, как мы научились составлять и различать множества, можно приступить к определению и других операций над ними.
Естественно, что два множества могут иметь одинаковые элементы (их можно выделить в отдельное множество), из всех элементов двух множеств можно составить одно новое множество, также можно рассмотреть отдельно элементы одного множества, которых во втором множестве нет.
Например, А – множество наклеек (марок), которые есть у Пети, В – множество наклеек, которые собрал Вася. Можно выделить множество наклеек, которые есть у обоих ребят; коллекцию различных наклеек, собранных ими вместе; множество наклеек Пети, которых нет у Васи.
Таким образом, мы проделали операции пересечения, объединения и разности двух множеств.
Опр.2.3.1. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств: С={х |хÎА и хÎВ}. Обозначается, А∩В.
Примеры. 1) Пусть A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5}, D = {10; 11}, тогда A ∩ B = {2; 3}, A ∩ D = Æ.
2) А = {2n: n Î N } - множество чисел, делящихся на 2, B = {3n: n Î N} - множество чисел, делящихся на 3, тогда A ∩ B = {6n | n Î N} - множество чисел, делящихся на 6.
3) А - отрезок , В - отрезок , тогда A ∩ B - отрезок .
4) Студент, сдавший все экзамены на «отлично» получает повышенную стипендию. Сессия состоит из четырех экзаменов. Пусть Аi – множество студентов, сдавших i -й экзамен на «отлично» (i = 1, 2, 3,4), тогда:
I – множество студентов, получающих повышенную стипендию.
Опр. 2.3.2. Объединением множеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов данных множеств А и В и только из них: С={х |хÎА или хÎВ}. Обозначается, А UВ.
Примеры. 1) A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5}, тогда C = A U B == {1; 2; 3; 4; 5}.
2) A = (–∞, 2], B = (1, +∞), тогда C = A U B = R .
3) А = , В = , тогда A U B = .
3) Если А – множество студентов, не сдавших первый экзамен, В – второй, то А U В – множество студентов – задолжников после двух экзаменов (не исключено, что кто-то не сдал оба экзамена).
Опр.2.3.3. Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В: С={х | х Î А и х Ï В}. Обозначается, А\В.
Примеры 1) A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5}, тогда А\В={1}, В\А={4, 5}.
2) R \ Q – множество иррациональных чисел.
3) Q \ R = Æ.
Опр.2.3.4 . Симметричной разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В и всех элементов множества В, не принадлежащих множеству А: С={х | (х Î А и х Ï В) или (х Î В и х Ï А) }. Обозначается, А∆В.
Пример. А={1,2,3,4,5}, В={4,5,6,7}, А∆В= {1,2,3,6,7}
В каждом отдельном случае мы рассматриваем всевозможные подмножества одного и того же множества. Например, в начальной школе дети учатся работать (выполнять основные арифметические операции) сначала с числами из первого десятка натуральных чисел, затем из первой сотни и т.д. Но их действия не выходят за рамки натуральных чисел (отрицательные и дробные числа они будут проходить позже). Аналогично, учитель может работать с некоторыми группами учеников, которые будут являться подмножествами определенного множества обучаемых данным учителем школьников. Каждый человек носит различные комбинации вещей, но только из своего личного гардероба. Это основное множество (свое в каждом отдельном случае) называется универсальным множеством.
Опр.2.3.5. Универсальным множеством называется множество, подмножества которого (и только они) в данный момент рассматриваются. Обозначают, Е (или U в разной литературе).
При работе с числовыми множествами, если не дается дополнительных указаний, в качестве основного (универсального) множества будем считать множество R действительных чисел.
Опр.2.3.6. Дополнением множества А называется разность Е \А. Обозначается, А’ или и читается «не-А». Иначе, дополнением множества А называется множество А’, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству А.
Примеры. 1) Е ={ множество студентов в группе}, A ={ множество студентов, сдавших первый экзамен}, то А’ ={ множество студентов, не сдавших первый экзамен}.
2) Е={буквы русского алфавита}, А={множество гласных букв}, тогда
А’={множество согласных букв и букв ь и ъ}.
3) Пусть Е – множество сотрудников школы, A – множество сотрудников старше 30 лет, B – множество сотрудников мужского пола, C – множество сотрудников занимающих должности вспомогательного персонала.
Тогда В ’ – множество женщин; А’ÇВÇC – множество мужчин занимающих должности вспомогательного персонала младше 30 лет; А È(В ÇС ’) – множество сотрудников старше 30 лет или мужчин не занимающих должности вспомогательного персонала; B \C – множество мужчин, не являющихся вспомогательным персоналом; C \B – множество сотрудников вспомогательного персонала – женщин.
4) Даны множества А={2, 3, 5, 8, 13, 15}, В={1, 3, 4, 8, 16}, С={12, 13, 15, 16}, D={0, 1, 20}. Найти АUВ, СUD, В∩С, А∩D, А\С, D\В, АUВUС, А∩В∩С, ВUD∩С, А∩С\D.
Решение : Будем пользоваться определениями соответствующих операций и учтем, что сначала должна выполняться операция пересечения множеств, а затем уже объединение или разность.
Получим АUВ={1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 15, 16};
СUD={0, 1, 12, 13, 15, 16, 20};
А\С={2, 3, 5, 8};
АUВUС={1, 2, 3,4, 5, 8, 12, 13, 15, 16};
А∩В∩С=Æ;
ВUD∩С={1, 3, 4, 8, 16};
А∩С\D={13, 15}.
5) Пусть Е={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}, A={1, 2, 3, 5}, B={2, 4, 6, 8}, C={1, 3, 5, 7}, D={4, 5, 7, 8}. Выразить через заданные множества A, B, C, D следующие множества: 1) К={1,2,3,4,5,7,8}, 2) L={4, 7 ,8}, 3) F={2, 5}, 4) G={5, 7, 9}.
Решение : 1) K={1,2,3,4,5,7,8}=AUD.
2) L={4, 7 ,8}=D\A.
б) A\(C\D)={2, 5}.
б) AUB={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8},
в) (AUB)’={7, 9},
г) (A∩D)U((AUB)’)={5, 7, 9}.
Свойства операций над множествами:
Таблица 2.3.1.
| Свойства операции пересечения: 1) А∩А=А; 2) А∩Ø=Ø; 3) А∩А’= Ø; 4) А∩Е =А; 5) А∩В=В∩А. | Свойства операции объединения: 1) АUА=А; 2) АU Ø =А; 3) АUА’=Е ; 4) АUЕ =Е ; 5) АUВ=ВUА. |
| Свойства операции разности: | |
| 1) А\А=Ø; 2) А\ Ø =А; 3) А\А’= А; 4) А\Е =Ø; | 5) Е \А=А’; 6) Ø \А=Ø; 7) А\В ≠ В\А. |
§ 2.4. Диаграммы Эйлера-Венна, таблицы вхождения элементов, координатная плоскость.
Для наглядного представления (графического изображения) множеств и результатов операций над ними удобно пользоваться так называемыми диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера).
При этом множества изображаются на плоскости в виде замкнутых кругов, а универсальное множество в виде прямоугольника. Элементы множества – точки внутри соответствующего круга.
Таблица 2.4.1.
Объединение АВ:
| Пересечение А∩В:
|
||||||||||||||||
| Разность: А\В
Примеры: Изобразить следующие множество с помощью диаграммы Венна 1) (АUВ)\(С∩А): Таблица 2.4.2.
2) А∩В∩С;
Есть и другой способ проиллюстрировать операции над множествами. Это, так называемая, таблица вхождения элементов в множества , в которой рассматриваются все возможные случаи вхождения выбранного элемента в множества А и В и их комбинации. Результат принадлежности этого элемента множествам А и В отмечают в первых двух столбцах таблицы по правилу: 1 – если элемент входит в данное множество, 0 – если не входит. Получится четыре случая или четыре строчки в таблице. Столбцы, соответствующие операциям A U B , A ∩ B , A \ B , заполняются согласно определений этих операций (табл. 1).
Примеры. 1) С помощью таблицы вхождения элементов определите верно ли следующее равенство (А UВ) ’ = А ’ ∩В ’
2) С помощью таблицы вхождения элементов определите верно ли следующее равенство (В UС ) \ В = С.
На координатной прямой множества изображаются в виде отрезка, концы которого показываются кружками: закрашенным кружком, если координата конца отрезка принадлежит множеству, в противном случае – не закрашенным кружком. Например, множество A = {x: − 2 < x ≤ 3} на координатной прямой можно показать так:
1) A = {x: − 5 ≤ x ≤ 6}, B = {x: − 3 < x < 8}, 2) A = {х: −3 < х ≤ 2} и B = {х: 0 ≤ х < 5}, 3) C = {х: 2 < х < 4} и D = {х: 3 ≤ х ≤ 5}, 4) E = {х: −3 ≤ х ≤ 2} и F = {х: 2 < х ≤ 5}. Найдите пересечения множеств и покажите их на координатной прямой. Решение: 1)Изобразим на координатной прямой множества А и В: D = {х: 3 ≤ х ≤ 5}: 4ÏC, з начит, пересечению множеств С и D будут принадлежать все точки полуинтервала ? Решение. Построим геометрические образы числовых множеств A
и B
: Граничные точки заданных множеств разбивают числовую прямую на следующие множества: (−∞, −4)
, {−4}
, (−4, −2)
, {−2}
, (−2, 1)
, {1}
, (1, 3)
, {3}
, (3, 5)
, {5}
, (5, +∞)
. Несложно заметить, что числовое множество A можно «собрать» из только что записанных множеств, объединив {−2} , (1, 3) , {3} и (3, 5) . Для нахождения пересечения множеств A и B достаточно проверить, включены ли последние множества в множество B . Те из них, которые включены в B , и будут составлять искомое пересечение. Выполним соответствующую проверку. Очевидно, {−2}
входит в множество B
(так как точка с координатой −2
является внутренней точкой отрезка [−4, 3])
. Интервал (1, 3)
тоже входит в B
(над ним есть штриховка). Множество {3}
также входит в B
(точка с координатой 3
является граничной и невыколотой множества B
). А интервал (3, 5)
не входит в числовое множество B
(над ним нет штриховки). Отметив сделанные выводы на чертеже, он примет такой вид Таким образом, искомое пересечение двух исходных числовых множеств A и B представляет собой объединение следующих множеств {−2} , (1, 3) , {3} , которое можно записать как {−2}∪(1, 3] . Ответ: {−2}∪(1, 3] . Остается лишь обговорить, как находить пересечение и объединение трех и большего количества числовых множеств. Эту задачу можно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств: сначала первого со вторым, дальше полученного результата с третьим, дальше полученного результата с четвертым и так далее. А можно использовать алгоритм, аналогичный уже озвученному. Единственное его отличие в том, что проверку вхождения промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел, нужно проводить не по двум, а по всем исходным множествам. Рассмотрим пример нахождения пересечения и объединения трех множеств. Пример. Найдите пересечение и объединение трех числовых множеств A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪{40} . Решение. Сначала, как обычно, изображаем числовые множества на координатных прямых, и ставим слева от них фигурную скобку, обозначающую пересечение, и квадратную скобку для объединения, а снизу изображаем координатные прямые с отмеченными штрихами граничными точками числовых множеств: Так координатная прямая оказывается представлена числовыми множествами (−∞, −3) , {−3} , (−3, 12) , {12} , (12, 25) , {25} , (25, 40) , {40} , (40, ∞) . Начинаем поиск пересечения, для этого по очереди смотрим, входят ли записанные множества в каждое из множеств A
, B
и D
. Во все три исходных числовых множества входит интервал (−3, 12)
и множество {12}
. Они и составляют искомое пересечение множеств A
, B
и D
. Имеем A∩B∩D=(−3, 12]
. В свою очередь искомое объединение будут составлять множества (−∞, −3)
(входит в A
), {−3}
(входит в A
), (−3, 12)
(входит в A
), {12}
(входит в A
), (12, 25)
(входит в B
), {25}
(входит в B
) и {40}
(входит в D
). Таким образом, A∪B∪D=(−∞, 25]∪{40}
. Ответ: A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪{40} . В заключение заметим, что пересечение числовых множеств частенько является пустым множеством. Это отвечает случаям, когда исходные множества не имеют элементов, одновременно принадлежащих всем им. (10, 27) , {27} , (27, +∞) . Ни одно из записанных множеств одновременно не входит в четыре исходных множества, а это означает, что пересечение множеств A , B , D и E есть пустое множеств. Ответ: A∩B∩D∩E=∅. Список литературы.
В математике понятие множества является одним из основных, фундаментальным, однако единого определения множества не существует. Одним из наиболее устоявшихся определений множества является следующее: под множеством понимают любое собрание определённых и отличных друг от друга объектов, мыслимых как единое целое. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) говорил так: "Множество есть многое, мыслимое нами как целое". Множества как тип данных оказались очень удобными для программирования сложных жизненных ситуаций, так как с их помощью можно точно моделировать объекты реального мира и компактно отображать сложные логические взаимоотношения. Множества применяются в языке программирования Паскаль и один из примеров решения мы ниже разберём. Кроме того, на основе теории множества создана концепция реляционных баз данных, а на основе операций над множествами - реляционная алгебра и её операции - используемые в языках запросов к базам данных, в частности, SQL. Пример 0 (Паскаль). Существует набор продуктов, продаваемых в нескольких магазинах города. Определить: какие продукты есть во всех магазинах города; полный набор продуктов в городе. Решение. Определяем базовый тип данных Food (продукты), он может принимать значения, соответствующие названиями продуктов (например, hleb). Объявляем тип множества, он определяет все подмножества, составленные из комбинаций значений базового типа, то есть Food (продукты). И формируем подмножества: магазины "Солнышко", "Ветерок", "Огонёк", а также производные подмножества: MinFood (продукты, которые есть во всех магазинах), MaxFood (полный набор продуктов в городе). Далее прописываем операции для получения производных подмножеств. Подмножество MinFood получается в результате пересечения подмножеств Solnyshko, Veterok и Ogonyok и включает те и только те элементы этих подмножеств, которые включены в каждое их этих подмножеств (в Паскале операция пересечения множеств обозначается звёздочкой: A * B * C, математическое обозначение пересечения множеств дано далее). Подмножество MaxFood получается в результате объединения тех же подмножеств и включает элементы, которые включены во все подмножества (в Паскале операция объединения множеств обозначается знаком "плюс": A + B + C, математическое обозначение объединения множеств дано далее). Код PASCAL Program Shops; type Food=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, maslo, ryba); Shop = set of Food; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Shop; Begin Solnyshko:=; Veterok:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; End. Какие бывают множестваОбъекты, составляющие множества - объекты нашей интуиции или интеллекта - могут быть самой различной природы. В примере в первом параграфе мы разобрали множества, включающие набор продуктов. Множества могут состоять, например, и из всех букв русского алфавита. В математике изучаются множества чисел, например, состоящие из всех: Натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, ... Простых чисел Чётных целых чисел и т.п. (основные числовые множества рассмотрены в этого материала). Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Можно сказать, что множество - это "мешок с элементами". Очень важно: в множестве не бывает одинаковых элементов. Множества бывают конечными и бесконечными. Конечное множество - это множество, для которого существует натуральное число, являющееся числом его элементов. Например, множество первых пяти неотрицательных целых нечётных чисел является конечным множеством. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел является бесконечным множеством. Если M - множество, а a - его элемент, то пишут: a ∈M , что означает "a принадлежит множеству M ". Из первого (нулевого) примера на Паскале с продуктами, которые есть в тех или иных магазинах: hleb ∈VETEROK , что означает: элемент "hleb" принадлежит множеству продуктов, которые есть в магазине "VETEROK". Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание. Множество можно задать, перечислив все его элементы, например: VETEROK = {hleb , syr , maslo } , A = {7 , 14 , 28 } . Перечислением можно задать только конечное множество. Хотя можно сделать это и описанием. Но бесконечные множества можно задать только описанием. Для описания множеств используется следующий способ. Пусть p (x ) - некоторое высказывание, которое описывает свойства переменной x , областью значений которых является множество M . Тогда через M = {x | p (x )} обозначаентся множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, для которых высказывание p (x ) истинно. Это выражение читается так: "Множество M , состоящее из всех таких x , что p (x ) ". Например, запись M = {x | x ² - 3x + 2 = 0} Пример 6. Согласно опросу 100 покупателей рынка, купивших цитрусовые, апельсины купили 29 покупателей, лимоны - 30 покупателей, мандарины - 9, только мандарины - 1, апельсины и лимоны - 10, лимоны и мандарины - 4, все три вида фруктов - 3 покупателя. Сколько покупателей не купили ни одного вида перечисленных здесь цитрусовых? Сколько покупателей купили только лимоны? Операция декартова произведения множествДля определения ещё одной важной операции над множествами - декартова произведения множеств введём понятие упорядоченного набора длины n . Длиной набора называется число n
его компонент. Набор, составленный
из элементов ,
взятых именно в этом порядке, обозначается Сейчас последует строгое определение, которое, возможно, не сразу понятно, но после этого определения будет картинка, по которой станет понятно, как получить декартово произведение множеств. Декартовым (прямым) произведением множеств
называется множество, обозначаемое Например, если , , , Множества. Операции над множествами. |
.
При этом i
я ()
компонента набора есть .
и состоящее из всех тех и только тех наборов длины n
, i
-я компонента
которых принадлежит 
.
, однако то лишь стиль, и, конечно же, их нужно узнавать в любом состоянии =). Вновь прибывшим читателям сообщаю, что мои уроки ориентированы на практику, и нижеследующий материал будет представлен именно в этом ключе. За более полной и академичной информацией, пожалуйста, обращайтесь к учебной литературе. Поехали:
– множество натуральных чисел;
– Вольдемар не сидит в первом ряду (и тем более, не принадлежит множеству или =)).
и, соответственно, факт принадлежности оформляется в следующем стиле:
– множество всех натуральных чисел, меньших ста.
– множество чисел, принадлежащих отрезку . Обратите внимание, что здесь подразумевается множество действительных
чисел (о них позже)
, которые перечислить через запятую уже невозможно.
– то есть, любое рациональное число представимо в виде дроби с целым числителем
и натуральным знаменателем
.
и т.д. Таким образом, целое число можно совершенно законно назвать и рациональным числом.
– бесконечная периодическая
десятичная дробь (повтор может начаться не сразу)
.
(«год рождения Льва Толстого» дважды)
, таким образом, любое рациональное число можно смело назвать и действительным числом.
удобно расписать перечислением его элементов.
. Да – оно бесконечно, однако у каждого его элемента в ПРИНЦИПЕ есть номер.
. Поскольку числитель – это целое число (а их, как только что показано, можно пронумеровать)
, а знаменатель – натуральное число, то рано или поздно мы «доберёмся» до любой рациональной дроби и присвоим ей номер.
