Большая энциклопедия нефти и газа. Функциональный анализ (математ.)
Функциональный анализ как самостоятельная дисциплина развивался на рубеже 19 и 20 века и окончательно сформировался в 20-30 гг 20 века. С одной стороны он развился под влиянием исследования конкретных классов линейных операторов – интегральных операторов и связанных с ними интегральных уравнений, с другой – под влиянием чисто внутреннего развития современной математики с ее желанием обобщить и тем самым познать истинную природу тех или иных закономерностей. Огромное влияние на развитие функционального анализа имела квантовая механика, поскольку в ней физическим величинам, измеряемых соответствуют линейные операторы над пространством состояний физической системы.
1. Понятие пространства. Самыми общими пространствами, фигурирующих в функциональном анализе является топологические векторные пространства. Так называется векторный (линейный) пространство над полем комплексных чисел (или действительных). На пространстве может быть введена метрика – действительная функция от двух аргументов, принадлежащих этому пространству, результатом которой является «расстояние» между этими элементами. Слово расстояние использовано здесь в косвенном смысле. Пространство с метрикой называется метрическим пространством. Также отличают пространства, на которых аксиоматически определена норма элемента – «длина» вектора x, | | x | |. На нормированном пространстве всегда можно ввести метрику в виде f (x, y) = | | xy | |. Также в пространстве можно определить операцию скалярного произведения которую геометрически можно интерпретировать как угол между элементами. Пространства со скалярным произведением называются унитарными. Скалярное произведение порождает норму в пространстве таким образом: | | x | | 2 = (x, x). Пространство который является полным относительно нормы порожденной скалярным произведением этого пространства называется гильбертовом пространстве.
«Измеримость» пространства – максимальное количество линейно независимых элементов в этом пространстве. Безмежновимирний пространство это пространство, в котором для любого натурального числа n существует n линейно независимых элементов.
2. Функционал – это отражение, ставящего в соответствие каждому элементу данного пространства элемент из пространства действительных или комплексных чисел. Важную роль в функциональном анализе играют понятия непрерывных функционалов и линейных функционалов. Пространство всех линейных ограниченных и всюду определенных на пространстве Х функционалов называется сопряженным к X и обозначается Х "или Х *.
3. Оператор – отображение, ставящее в соответствие элемент одного пространства элемента с другой. L (X, Y) – пространство всех линейных, непрерывных, повсюду определенных в Х операторов. Преимущественно рассматриваются случаи когда X i Y – нормированные или Гильбертовы пространства. Оператор называется сопряженным к оператору А и обозначается А * если (А х, y) = (x, A * y). Очень важным является класс самоспряжених операторов – (A x, y) = (x, A y).
Объекты управления, которые выражают характер, и содержание управляемых процессов являются весомыми признаками классификации видов анализа, применяемого к деятельности хозяйственного типа. Примечательным видом является функциональный анализ, который следует рассмотреть более подробно.
Понятие
Функциональный анализ представляет собой разновидность анализа, которая предполагает рассмотрение объекта, с точки зрения комплекса его функций, не учитывая его как материально-вещественную структуру. То есть его принимают не как совокупность конструктивных деталей, а как носитель определенной функции.
Предметом анализа этого типа являются причинно-следственные связи, структура функций и содержание конкретного продукта. Проведение исследований данного типа требует наличия специальных знаний.
Особенности функционального анализа
В объекте, подвергающемуся анализу, присутствуют полезные функции, которым сопутствуют нейтральные и негативные функции. Чтобы понять, что это означает, можно рассмотреть конкретный пример. Нож мясорубки выполняет три функции одновременно: нейтральную - нагрев продукта, полезную - его измельчение, а также негативную - сминает его. Из данной предпосылки исходит функциональный анализ. Стоит также понимать, что функции одного объекта могут быть для него полезными, а для других вредными или нейтральными.
Анализ данного типа позволяет сосредоточить все внимание на функциях рассматриваемого объекта, абстрагируясь от его исполнения. Дабы повысить степень выполнения и уменьшить затраты функций, производится поиск альтернативных вариантов для их реализации. Анализ этого вида может использоваться с целью совершенствования технических процессов и объектов.
Основные цели функционального анализа
Функциональный анализ применяется для достижения таких целей:
- Устранение лишних функций. Зачастую некоторые применяемые функции не соответствуют условиям нынешней экономической системы. По этой причине выполняется их обоснованное сокращение. Это можно делать с целью экономии средств, а также усовершенствования организационной структуры учреждения.
- Добавление необходимых недостающих функций. Например, для перехода к рыночной экономике может быть недостаточно административных функций. Вместе с тем некоторые из тех, которые имеются, уже давно устарели. Если заменить нейтральные функции полезными, это позволит улучшить деятельность предприятия.
- Рационализация в распределении. Дабы избежать снижения эффективности, следует обеспечить эффективное одновременное выполнение разных функций. Для этого необходимо выполнить их распределение рационально.
Функциональный анализ должен разрабатываться с предельной внимательностью, что позволит достичь поставленных целей.
Функциональные подходы
Структурно функциональный анализ представляет собой один из главнейших подходов к изучению социальных явлений. Он получил наибольше значение в теории организаций. В некоторых случаях социальный объект рассматривается как адаптивная система, составляющие которой удовлетворяют потребности системы в целом.
Функциональный стоимостной анализ представляет собой один из способов проведения системного исследования функций объекта. Благодаря ему можно найти баланс между полезностью объекта и его себестоимостью. Его применяют для совершенствования продукции и услуг.
Рассмотрев данное понятие, можно начать более углубленное изучение функционального анализа, которое позволит подробно изучить тему.
Функциональный анализ
Абсолютно непрерывные функции. Связь между абсолютно непрерывными функциями и интегралом Лебега (КФЭ 394).
Абсолютно непрерывной называется такая функция ¦, заданная на отрезке , что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов (ak,bk) с суммой длин меньшей d, сумма модулей разностей значений функции ¦ в концах интервалов меньше чем e.
Утв. Всякая абсолютно непрерывная ф-я имеет ограниченное изменение.
Теорема. Функция , представляющая собой неопределенный интеграл суммируемой ф-и, абсолютно непрерывна.
Метрическое пр-во. Определение и примеры. Полнота. Теорема о вложенных шарах в метрическом пр-ве.
Полугруппой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция.
Группой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция и существует единица.
Кольцо - множество объектов с двумя бинарными операциями, являющееся группой по одной из операций, и полугруппой по второй операции, причем для элементов кольца справедлив закон ассоциативности и дистрибутивности.
Поле – кольцо с единицей, содержащее элементы отличные от нуля, для каждого из которых определен обратный элемент по “умножению” (являющееся группой по умножению).
Линейным векторным пр-вом над кольцом наз. множество объектов называемых векторами с определенными операциями векторного сложения и умножения вектора на скаляр, такими, что это множество является группой по векторному сложению и справедливы законы ассоциативности и дистрибутивности для умножения на скаляр.
Выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа q из элемент qх+(1-q)у принадлежит Е.
Уравновешенным подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Е и числа q, по модулю не превосходящего единицы элемент qх принадлежит Е.
Абсолютно выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа любых двух чисел a b: 1³ |a|+|b| элемент aх+bу принадлежит Е.
Поглощающим подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Х существует число a большее нуля, что для все чисел b по модулю не меньших a найдется элемент у из Е, что х равен bу.
Калибровочной функцией векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): Х®R, что для нее выполнены следующие условия:
Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: "aÎК р(aх)= a×р(х).
Полунормой векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): Х®R, что для нее выполнены следующие условия:
Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: "aÎК ||aх||= |a|×||х||.
Выполнено нер-во треугольника: р(х)+ р(у)³ р(х+у).
Утв. Пусть р(a) – неотр. калибровочная ф-я. Тогда мн-во Еl={х: р(х)0 $d>0, справедливо |¦(х)-¦(у)|0 p(ax)= ap(x).
Однородно-выпуклым фун-лом называется положительно-однородным выпуклый фун-л.
Продолжением лин-ого фун-ла ¦0, определенного на подпространстве X0 действительного лин-ого пр-ва X называется такой лин-ый фун-л ¦, определенный на X, что¦(x)=¦0(x) для всех x из X0.
Подчиненным фун-лу p(x) на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л ¦, что ¦(x)£p(x) для всех x из X.
Теорема Хана-Банаха. Пусть p – однородно-выпуклый фун-л, заданный на действительном лин-ом пр-ве X, и пусть X0 – лин-ое подпр-во X. Пусть ¦0 лин-ый фун-л на X0 , подчиненные на X0 p(x). Тогда ¦0 может быть продолжен до лин-ого фун-ла ¦ на X, подчиненного p(x) на всем X.
Теорема Хана-Банаха в комплексном случае. Ее следствия.
Однородно-выпуклым на комплексном лин-ом пр-ве X мы будем называть такой неотрицательный фун-л p, что для всех x,y из X и всех комплексных чисел l справедливы соотношения: p(x+y)£p(x)+p(y), p(lx)=| l|p(x).
Теорема Хана-Банаха в комплексном случае. Пусть p – однородно-выпуклый фун-л на комплексном пр-ве X, и пусть X0 – лин-ое подпр-во X. Пусть ¦0 лин-ый фун-л на X0, такой, что |¦0 (x)|£p(x) для x из X0. Тогда Существует лин-ый фун-л ¦, являющийся продолжением ¦0, такой, что |¦ (x)|£p(x) для x из X.
Непрерывные лин-ые фун-лы на пр-вах Lp (прямая теорема).
Непрерывные лин-ые фун-лы на пр-вах Lp (обратная теорема).
Непрерывные лин-ые фун-лы на гильбертовом пр-ве.
Непрерывные лин-ые фун-лы на С[а,в] (прямая теорема).
Сопряженные операторы.
Сопряженным пр-вом A* к лин-ому топологическому пр-ву A называется совокупность всех непрерывных лин-ых фун-лов на A.
Сопряженным оператором к лин-ому оператору A, отображающему лин. пр-во X в Y называется такой лин. оператор A*, который отображает пр-во Y* в X*.
Теорема Банаха-Штейнгауза.
Существование непрерывных функций с расходящимися рядами Фурье.
Слабая сходимость. * слабая компактность единичного шара в пр-ве, сопряженном к сепарабельному.
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.mmonline.ru/
Cтраница 1
Функциональный анализ близок к причинному анализу, который связан с большими трудностями. Перефразируя Бэкона, можно сказать, что бывают случаи, когда А предшествует В и все модификации А сопровождаются модификациями В, а остальные переменные постоянны.
Функциональный анализ в нормированных пространствах прошло двадцать лет.
Функциональный анализ - сравнительно недавно возникшая научная дисциплина. Как самостоятельная ветвь математического анализа он оформился лишь за последние двадцать - тридцать лет, что не помешало ему, однако, занять одно из центральных мест в современной математике.
Функциональный анализ рассматривает подходящим образом выбранные классы функций как множества точек в топологических пространствах (гл. Изящные и богатые геометрическими аналогиями выводы теории линейных преобразований, введенной в гл. Решения линейных дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными, и линейных интегральных уравнений находятся путем более или менее простого обобщения решения систем линейных уравнений, в частности, сюда могут быть включены задачи о собственных значениях (пп.
Функциональный анализ заключается в том, что для каждой выходной функции изделия анализируют возможные причины ее нарушения, постепенно доходя до заданного уровня разукрупнения. При этом удается выявить отказы, имеющие одинаковые внешние проявления.
Функциональный анализ - совокупность физических и химических методов анализа, применяя которые можно качественно и количественно определять в органических соединениях реакционноспособные группы атомов (или отдельные атомы), так называемые функциональные группы.
Функциональный анализ - подчинен основной задаче - предварительному определению параметров по заданным показателям качества исходя из рассмотрения физического принципа работы изделия и рационального технического решения. В построение математических моделей функционирования главное внимание обращается на методологию применения методов функционального анализа. Стараются применять методы функционального анализа в их наиболее чистом, простом и фундаментальном виде.
Функциональный анализ имеет большое значение для идентификации, так как он позволяет установить тип неизвестного соединения, его молекулярную массу или некоторую часть ее, а также соотношение функциональных групп.
Функциональный анализ не всегда завершается полным строгим решением, так как основным назначением может быть разработка базовой математической модели функционирования. Разработка базовой модели позволяет более глубоко вникнуть в задачу, более полно понять физические законы и принимаемые допущения. Она особенно предпочтительна при решении новых задач, при этом во многих случаях удовлетворяются приближенной оценкой значения величин, существенных для задачи, и не ищут путей точного их определения. Иногда найти такие пути очень трудно или вовсе невозможно. Сопоставление приближенных значений величин различных параметров в базовой модели нередко создает основу для построения правильной картины развития процесса, для выделения в ней основного и отбрасывания второстепенных частностей. Большинство реальных задач функционального анализа при построении базовой математической модели функционирования лучше всего решать, используя обобщенный подход, и особенно, когда формальный подход совсем неприемлем. В обобщенном подходе из-за наличия нескольких функциональных свойств используют метод теории подобия и метод размерностей.
Функциональный анализ предполагает определение типа функциональной группы (например, альдегидная, карбонатная или гидроксильная), входящей в исследуемую пробу, без уточнения того, какое конкретное соединение содержит данную функциональную группу. Иногда и эти сведения недостаточны для точного идентифицирования соединения, если, например, оно может существовать в виде нескольких изомеров. Так, комплекс [ Р МНзЬСЬ ], как - уже было показано (гл. IV), может быть представлен в виде транс - или г ис-изомера. Точная идентификация изомера, который присутствует в системе, является очень сложной задачей, требующей использования более специальных химических и физических методов. Проблемы этого рода очень часто встречаются при анализе комплексных и особенно органических соединений.
Функциональный анализ изучает множества, снабженные согласованными между собой алгебраическими и топологическими структурами, и их отображения, а также методы, с помощью которых сведения об этих структурах применяются к конкретным задачам.
Функциональный анализ и вычислительная мате - (атика.
Функциональный анализ изучает некоторые тополого-алгебраи веские структуры, а также методы, с помощью которых сведения юб этих структурах могут применяться к аналитическим задачам.
Функциональный анализ играет важную роль в современном математическом образовании инженера-исследователя, которому предстоит применять математические методы в конкретной области науки. На языке функционального анализа получают явное выражение основные проблемы прикладной и вычислительной математики.
Посвящается тридцатилетию кафедры функционального анализа БГУ
Функциональный анализ изучает множества, снабженные согласованными между собой алгебраическими и топологическими структурами, и их отображения, а также методы, с помощью которых сведения об этих структурах применяются к конкретным задачам. Как самостоятельная математическая дисциплина функциональный анализ оформился в начале XX века в результате переосмысления и обобщения ряда понятий математического анализа, алгебры и геометрии. Основополагающая монография Стефана Банаха Теория линейных операций была опубликована в 1932 году. За последующие десятилетия функциональный анализ глубоко проник почти во все области математики.
Основой для широких приложений функционального анализа является то, что большинство задач, возникающих в математике и математической физике, касается не отдельных объектов типа функций, мер или уравнений, а, скорее, обширных классов таких объектов, при- чем на этих классах обычно существует естественная структура векторного пространства и естественная топология. Среди областей применения функционального анализа можно указать математическую физику, теорию функций, теорию дифференциальных и интегральных уравнений, теорию вероятностей, методы вычислений, квантовую механику, математическую экономику и ряд других научных направлений.
Естественно, что функциональный анализ стал одной из базовых дисциплин в университетском математическом образовании, опубликовано много учебных пособий и монографий разного уровня сложности. Особенностью данной книги, предназначенной для студентов математических специальностей университетов, является то, что при ее написании ставилась цель отобрать минимум материала, который отражает основные идеи и методы функционального анализа, и вместе с тем может быть достаточно подробно изложен за время, отведенное учебным планом на курс Функциональный анализ и интегральные уравнения.
В книге изложены основы теории меры и интеграла Лебега, метрических и нормированных пространств и операторов в них, основные принципы линейного функционального анализа, основы теории обобщенных функций и топологических векторных пространств. Интегральные уравнения рассматриваются в качестве одного из основных объектов приложений. Соответствующие результаты не выделены в отдельную главу, а распределены по книге и носят характер иллюстраций и следствий общих утверждений, что позволяет демонстрировать плодотворность методов функционального анализа.
Приложение содержит основные факты из общей топологии, которые нужны для более глубокого понимания ряда вопросов и используются в основном в главе IX.
В основу книги положен курс лекций, который в течение ряда лет читается авторами на механико-математическом факультете Белорусского государственного университета. Содержание основного курса изложено в главах I VII, материал глав VIII и IX обычно излагается в спецкурсах.
Первое издание книги вышло в 1984 году. В рецензировании первого издания участвовали член-корреспондент РАН Л. Д. Кудрявцев, профессора Б. И. Голубов и В. М. Говоров, чьи критические замечания и полезные советы способствовали существенному улучшению содержания книги.
При подготовке второго издания были переработаны и расширены некоторые разделы, устранены обнаруженные опечатки и неточности. Мы благодарны рецензентам второго издания академику НАН Беларуси И. В. Гайшуну, член-корреспонденту НАН Беларуси В. И. Корзюку, профессорам П. П. Забрейко и В. Н. Русаку за ценные замечания.
Мы выражем благодарность доцентам кафедры функционального анализа БГУ М. Х. Мазель и Л. Г. Третьяковой, участвовавшим в подготовке и редактировании текста, а также Г. И. Радыно и Е. М. Радыно за техническую помощь при подготовке рукописи.
В книге принята сплошная нумерация параграфов, ссылки внутри параграфа даются без указания его номера. Знаком B обозначается
начало доказательства, а знаком C его окончание. Знак:= читаетсяположим по определению или обозначим.
ТЕОРИЯ МЕРЫ
Ÿ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Новые математическое объекты и понятия вводятся всегда с помощью других, более общих объектов, и определяются как такие более общие объекты, удовлетворяющие некоторым условиям. Более общие объекты, в свою очередь, были введены с помощью еще более общих и т. д. Такая цепочка понятий должна ãäå-òî оканчиваться какие-то объекты должны быть приняты за базовые, которые не вводятся с помощью более общих понятий. Таким базовым понятием в современной математике обычно считается понятие множества. Множество можно понимать как совокупность, набор, собрание некоторых объектов произвольной природы, которые называют элементами данного множества. МножествоX считается заданным, если известны его элемен-
ты, т. е. для любого объекта a выполнено: либоa является элементомX (записываетсяa 2 X ) ëèáîa не является элементомX (записываетсяa 62X ) :
Напомним основные понятия теории множеств.
Åñëè A èB множества, то множествоA называется подмножеством множестваB (обозначаетсяA ½ B ) ; если каждый элемент множестваA является элементом множестваB:
Множество всех подмножеств множества X обозначаетсяP(X ) : Множество, состоящее из одной точкиx; обозначаетсяfxg: Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается;: Для любого множестваX выполнено; ½ X:
Если для элементов множества X задано некоторое свойствоP (x ) , то подмножество множестваX , состоящее из всех элементовx 2 X; для которых свойствоP (x ) выполнено, записывают следующим обра-
çîì: fxj x 2 X; P(x) gèëè fx 2 X: P(x) g:
Заметим, что свойство P (x ) задает подмножество вX только в том
случае, когда это свойство сформулировано так, что для каждого элемента x существует определенный ответ: выполнено это свойство для
данного x или не выполнено. Известны примеры таких формулиро-
вок свойств элементов, для которых только достаточно внимательный анализ показывает, что они не удовлетворяют этому требованию.
П р и м е р (п а р а д о к с Р и ш а р а). Пусть X = N åñòü ìíî-
жество натуральных чисел. Некоторые натуральные числа могут быть заданы с помощью фраз на русском языке. Пусть M есть совокупность
всех натуральных чисел, которые могут быть заданы с помощью фраз, содержащих не более 20 слов, каждое из которых записывается с помощью не более чем 20 букв. Так как всех возможных фраз указанных размеров конечное число, то совокупность M не может совпадать со
всем множеством N .
Пусть a есть наименьшее из натуральных чисел, которые не мо-
гут быть заданы фразой, содержащей менее 20 слов. Последняя фраза содержит менее 20 слов, каждое из которых записывается с помощью не более чем 20 букв, и эта фраза задает число a . Тем самымa
является элементом M . Но, по смыслу этой фразы, числоa не является элементом совокупностиM . Таким образом, указанное свойство
натурального числа не задает подмножество, т. е. это свойство нечетко задано.
Пусть A èB множества; пересечением этих множеств называ-
ется множество A \ B = fxj x 2 A; x 2 Bg: Åñëè(A n ) n >1 последова- тельность множеств, то их пересечением называется множество
An = fxj x 2 An ; n= 1 ;2 ; : : :g:
Аналогично, если (A i ) i2I семейство множеств, занумерованных элементами некоторого множестваI; òî
Ai = fxj x 2 Ai 8i 2 Ig:
Объединением множеств A èB называется множествоA [ B =
Fxj x 2 A èëèx 2 Bg: Åñëè(A i ) i2I семейство множеств, то объединением называется множество
Ai = fxj 9i 2 I;÷òî x 2 Ai g:
Åñëè A ½ S i2I A i , то говорят, что семейство множествA i является
покрытием` множестваX:
Знаком будем обозначать в дальнейшем объединение непересекающихся множеств (дизъюнктное объединение). Таким образом,
f (i ) 2 X i :
непустых множеств
A = Ai | A j= | |||||||||||||
A = A1 | означает, что A = A 1 | [ A2 è A1 | \ A2 | = ; ; | i A i = A |
|||||||||
A i = A , òî | A i задает | разбиение |
||||||||||||
означает, что | для любых | J: Åñëè |
||||||||||||
говорят, что семейство множеств | ||||||||||||||
множества. | A nB := |
|||||||||||||
Разностью множеств | A èB называется | множество |
||||||||||||
Fxj x 2 A; x 62Bg:Åñëè A ½ B;òî A n B= ;;т. е. разность несет
мало информации о взаимном расположении множеств. Более точно его учитывает симметрическая разность:
A4B = (A n B) (B n A) = (A B) n(A B) :
Для наиболее часто встречающихся множеств будем использовать стандартные обозначения: N множество натуральных чисел; Z
множество целых чисел; Q множество рациональных чисел; R множество действительных чисел; C множество комплексных чи-
ñåë; R+ множество положительных действительных чисел; Rn действительное n -мерное пространство; Cn комплексное n -мерное
пространство; P(X ) множество всех подмножествX:
Декартовым произведением множеств X èY называется множество упорядоченых пар элементов
X £ Y = f(x; y) j x 2 X; y 2 Y g:
Åñëè (X i ) ; i 2 I; семейство множеств, занумерованных элемен-
тами некоторого множества I; то их произведением называется мно-жество i Q 2I X i ; состоящее из семейств элементов, занумерованных эле-
ментами множества I (функций наI ), таких, что Утверждение о том, что произведениеQ X i
всегда не является пустым, принимается в теории множеств как следующая аксиома.
Аксиома выбора. Для всякого семейства непустых множеств X i ; i 2 I; существует функцияf на множествеI такая, что зна-
чение f (i ) принадлежитX i для любогоi 2 I:
Другими словами можно сказать, что аксиома выбора утверждает существование множества, содержащего ровно по одному элементу из каждого множества X i : В теории множеств доказывается, что это утверждение не может быть получено из других, более очевидных свойств. Поэтому утверждения о существовании некоторых объектов,
флексивным, если
доказательства которых основаны на аксиоме выбора, не являются конструктивными они не указывают способа явного построения искомого объекта.
Определение 1. Отношением между множествамиX èY называется любое подмножествоR из декартова произведенияX £ Y: ÅñëèX = Y; то отношениеR называется (бинарным) отношением на множествеX:
П р и м е р ы отношений на множестве R:
1. x6 y;ò. å. f(x; y) 2R £R j x6 yg;
2. y= sin x;ò. å. f(x; y) 2R £R j y= sin xg;
3. x ¡ y 2Z ;ò. å. f(x; y) 2R £R j x ¡ y 2Z g:
Определение 2. ОтношениеR на множествеX называется ре-
(x; x ) 2 R äëÿ8x 2 X ; симметричным, если из
(x; y ) 2 R следует(y; x ) 2 R ; транзитивным, если из(x; y ) 2 R è(y; z ) 2 R следует(x; z ) 2 R: ОтношениеR называется антисиммет-
ричным, если из (x; y ) 2 R è(y; x ) 2 R следуетx = y: Наиболее часто используются следующие виды отношений.
1. Отношение эквивалентности
Отношение R ½ X £X называется отношением эквивалентности
на множестве X; если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Обычно условие(x; y ) 2 R в случае отношения эквивалентности запи-
сывается в виде x » y èëèx » y:
Если на множестве X задано отношение эквивалентности, то мно-
жество X разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных
между собой элементов. Класс эквивалентности, содержащий элемент x; обозначаем[ x ] :
П р и м е р. В качестве X возьмем множество целых чиселZ : Введем отношение эквивалентности:x » y; åñëèx ¡ y = 3 k; k 2 Z : МножествоZ распадается на три класса
= { . . . , -6, -3, 0, 3, 6, . . . } ; = { . . . , -5, -2, 1, 4, 7, . . . } ; = { . . . , -7, -4, -1, 2, 5, . . . }.
2. Отношение порядка
Отношение R на множествеX называется отношением порядка,
если оно транзитивно, рефлексивно и антисимметрично. Обычно условие (x; y ) 2 R в случае отношения порядка записывают в видеx Á y è
читают x предшествуетy èëèy следует заx . 8
