Применение гипса. Что такое гипс - фото, свойства минерала, виды, происхождение, месторождения. Сколько в среднем стоит данный строительный материал
Наконец-то у меня добрались руки до обширной и долгожданной темы аналитической геометрии . Сначала немного о данном разделе высшей математики…. Наверняка вам сейчас вспомнился курс школьной геометрии с многочисленными теоремами, их доказательствами, чертежами и т.д. Что скрывать, нелюбимый и часто малопонятный предмет для значительной доли учеников. Аналитическая геометрия, как ни странно, может показаться более интересной и доступной. Что означает прилагательное «аналитическая»? На ум сразу приходят два штампованных математических оборота: «графический метод решения» и «аналитический метод решения». Графический метод , понятно, связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задач преимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решений практически всех задач аналитической геометрии прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости.
Открываемый курс уроков по геометрии не претендует на теоретическую полноту, он ориентирован на решение практических задач. Я включу в свои лекции только то, что с моей точки зрения, является важным в практическом плане. Если вам необходима более полная справка по какому-либо подразделу, рекомендую следующую вполне доступную литературу:
1) Вещь, с которой, без шуток, знакомо несколько поколений: Школьный учебник по геометрии , авторы – Л.С. Атанасян и Компания . Сия вешалка школьной раздевалки уже выдержала 20-ть (!) переизданий, что, конечно, не является пределом.
2) Геометрия в 2 томах . Авторы Л.С. Атанасян, Базылев В.Т . Это литература для высшей школы, вам потребуется первый том . Из моего поля зрения могут выпадать редко встречающиеся задачи, и учебное пособие окажет неоценимую помощь.
Обе книги можно бесплатно закачать в Интернете. Кроме того, можете использовать мой архив с готовыми решениями, который можно найти на странице Скачать примеры по высшей математике .
Из инструментальных средств предлагаю опять же собственную разработку – программный комплекс по аналитической геометрии, который значительно упростит жизнь и сэкономит массу времени.
Предполагается, что читатель знаком с базовыми геометрическими понятиями и фигурами: точка, прямая, плоскость, треугольник, параллелограмм, параллелепипед, куб и т.д. Желательно помнить некоторые теоремы, хотя бы теорему Пифагора, привет второгодникам)
А сейчас мы последовательно рассмотрим: понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора. Далее рекомендую прочитать важнейшую статью Скалярное произведение векторов , а также и Векторное и смешанное произведение векторов . Не лишней будет и локальная задача – Деление отрезка в данном отношении . На основе вышеуказанной информации можно освоить уравнение прямой на плоскости с простейшими примерами решений , что позволит научиться решать задачи по геометрии . Также полезны следующие статьи: Уравнение плоскости в пространстве , Уравнения прямой в пространстве , Основные задачи на прямую и плоскость , другие разделы аналитической геометрии. Естественно, попутно будут рассматривать типовые задания.
Понятие вектора. Свободный вектор
Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:
В данном случае началом отрезка является точка , концом отрезка – точка . Сам вектор обозначен через . Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор . Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи.
Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором . У такого вектора конец и начало совпадают.
!!! Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства.
Обозначения: Многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении и сказали, там же вверху еще стрелку ставят! Верно, можно записать со стрелкой: , но допустима и запись , которую я буду использовать в дальнейшем . Почему? Видимо, такая привычка сложилась из практических соображений, слишком разнокалиберными и мохнатыми получались мои стрелки в школе и ВУЗе. В учебной литературе иногда вообще не заморачиваются клинописью, а выделяют буквы жирным шрифтом: , подразумевая тем самым, что это вектор.
То была стилистика, а сейчас о способах записи векторов:
1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
и так далее. При этом первая буква обязательно
обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.
2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
В частности, наш вектор можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой .
Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка . Длина нулевого вектора равна нулю. Логично.
Длина вектора обозначается знаком модуля: ,
Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.
То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор .
Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки
:
Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор . Почему свободный? Потому что в ходе решения задач вы можете «пристроить» тот или иной вектор в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. Это очень крутое свойство! Представьте вектор произвольной длины и направления – его можно «клонировать» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ. Есть такая студенческая присказка: Каждому лектору в ж**у по вектору. Ведь не просто остроумная рифма, всё математически корректно – вектор можно пристроить и туда. Но не спешите радоваться, чаще страдают сами студенты =)
Итак, свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок…», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства.
Следует отметить, что с точки зрения физики понятие свободного вектора в общем случае некорректно, и точка приложения вектора имеет значение. Действительно, прямой удар одинаковой силы по носу или по лбу хватит развивать мой дурацкий пример влёчет разные последствия. Впрочем, несвободные векторы встречаются и в курсе вышмата (не ходите туда:)).
Действия с векторами. Коллинеарность векторов
В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии.
Правило сложения векторов по правилу треугольников
Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора и :
Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор от конца
вектора :
Суммой векторов и является вектор . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору , а затем по вектору . Тогда сумма векторов представляет собой вектор результирующего пути с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.
Кстати, если вектор отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.
Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».
Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными . Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены .
Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: , при этом возможна детализация: (векторы сонаправлены) или (векторы направлены противоположно).
Произведением ненулевого вектора на число является такой вектор , длина которого равна , причём векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при .
Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:
Разбираемся более детально:
1) Направление. Если множитель отрицательный, то вектор меняет направление на противоположное.
2) Длина. Если множитель заключен в пределах или , то длина вектора уменьшается . Так, длина вектора в два раза меньше длины вектора . Если множитель по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в раз.
3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны , при этом один вектор выражен через другой, например, . Обратное тоже справедливо : если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор .
4) Векторы сонаправлены. Векторы и также сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.
Какие векторы являются равными?
Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину . Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».
С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.
Координаты вектора на плоскости и в пространстве
Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы и :
Векторы и ортогональны . Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность .
Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: .
Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами . Данные векторы образуют базис на плоскости. Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов .Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.
Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.
Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: . Координатные векторы нельзя переставлять местами.
Любой
вектор плоскости единственным образом
выражается в виде:
, где – числа
, которые называются координатами вектора
в данном базисе. А само выражение 
называется разложением вектора
по базису
.
Ужин подан:
Начнем с первой буквы алфавита: . По чертежу хорошо видно, что при разложении вектора по базису используются только что рассмотренные:
1) правило умножения вектора на число: и ;
2) сложение векторов по правилу треугольника: .
А теперь мысленно отложите вектор от любой другой точки плоскости. Совершенно очевидно, что его разложение будет «неотступно следовать за ним». Вот она, свобода вектора – вектор «всё носит при себе». Это свойство, разумеется, справедливо для любого вектора. Забавно, что сами базисные (свободные) векторы не обязательно откладывать от начала координат, один можно нарисовать, например, слева внизу, а другой – справа вверху, и от этого ничего не изменится! Правда, делать так не нужно, поскольку преподаватель тоже проявит оригинальность и нарисует вам «зачтено» в неожиданном месте.
Векторы , иллюстрируют в точности правило умножения вектора на число, вектор сонаправлен с базисным вектором , вектор направлен противоположно по отношению к базисному вектору . У данных векторов одна из координат равна нулю, дотошно можно записать так:
А базисные векторы, к слову, так: (по сути, они выражаются сами через себя).
И, наконец: , . Кстати, что такое вычитание векторов, и почему я не рассказал о правиле вычитания? Где-то в линейной алгебре, уже не помню где, я отмечал, что вычитание – это частный случай сложения. Так, разложения векторов «дэ» и «е» преспокойно записываются в виде суммы: , 
. Переставьте слагаемые местами и проследите по чертежу, как чётко в этих ситуациях работает старое доброе сложение векторов по правилу треугольника.
Рассмотренное разложение вида 
иногда называют разложением вектора в системе орт
(т.е. в системе единичных векторов). Но это не единственный способ записи вектора, распространён следующий вариант:
Или со знаком равенства:
Сами базисные векторы записываются так: и
То есть, в круглых скобках указываются координаты вектора. В практических задачах используются все три варианта записи.
Сомневался, говорить ли, но всё-таки скажу: координаты векторов переставлять нельзя . Строго на первом месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору , строго на втором месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору . Действительно, и – это ведь два разных вектора.
С координатами на плоскости разобрались. Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничусь одним вектором, который для простоты отложу от начала координат:
Любой
вектор трехмерного пространства можно единственным способом
разложить по ортонормированному базису : 
, где – координаты вектора (числа) в данном базисе.
Пример с картинки: 
. Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число: (красная стрелка), (зеленая стрелка) и (малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов: . Вектор суммы начинается в исходной точке отправления (начало вектора ) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора ).
Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор от любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение «останется при нём».
Аналогично плоскому случаю, помимо записи 
широко используются версии со скобками: либо .
Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор (дотошно 
) – запишем ;
вектор (дотошно 
) – запишем ;
вектор (дотошно 
) – запишем .
Базисные векторы записываются следующим образом:
Вот, пожалуй, и все минимальные теоретические знания, необходимые для решения задач аналитической геометрии. Возможно многовато терминов и определений, поэтому чайникам рекомендую перечитать и осмыслить данную информацию ещё раз. Да и любому читателю будет полезно время от времени обращаться к базовому уроку для лучшего усвоения материала. Коллинеарность, ортогональность, ортонормированный базис, разложение вектора – эти и другие понятия будут часто использоваться в дальнейшем. Отмечу, что материалов сайта недостаточно для сдачи теоретического зачета, коллоквиума по геометрии, так как все теоремы (к тому же без доказательств) я аккуратно шифрую – в ущерб научному стилю изложения, но плюсом к вашему пониманию предмета. Для получения обстоятельной теоретической справки прошу следовать на поклон к профессору Атанасяну.
А мы переходим к практической части:
Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах
Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть , даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.
Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.
Как найти вектор по двум точкам?
Если даны две точки плоскости и , то вектор имеет следующие координаты:
Если даны две точки пространства и , то вектор имеет следующие координаты:
То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора .
Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора . Формулы в конце урока.
Пример 1
Даны две точки плоскости и . Найти координаты вектора
Решение:
по соответствующей формуле:
Как вариант, можно было использовать следующую запись:
Эстеты решат и так:
Лично я привык к первой версии записи.
Ответ:
По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов чайникам, не поленюсь:
Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов :
Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.
Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости .
Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: , а смысл координат абсолютно разный , и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства.
Дамы и господа, набиваем руку:
Пример 2
а) Даны точки и . Найти векторы и .
б) Даны точки 
и . Найти векторы и .
в) Даны точки и . Найти векторы и .
г) Даны точки . Найти векторы 
.
Пожалуй, достаточно. Это примеры для самостоятельного решения, постарайтесь ими не пренебрегать, окупится;-). Чертежи делать не нужно. Решения и ответы в конце урока.
Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю». Сразу извиняюсь, если где ошибся =)
Как найти длину отрезка?
Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.
Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле
Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле
Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и , но более стандартен первый вариант
Пример 3
Решение:
по соответствующей формуле:
Ответ:
Для наглядности выполню чертёж
Отрезок – это не вектор , и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.
Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:
Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».
Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:
Обратите внимание на важный технический приём
– вынесение множителя из-под корня
. В результате вычислений у нас получился результат и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: 
. Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.
Вот другие распространенные случаи:
Нередко под корнем получается достаточно большое число, например . Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: 
. А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом: 
. У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: . В результате:
Готово.
Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.
В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.
Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:
Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.
Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:
Пример 4
Даны точки и . Найти длину отрезка .
Решение и ответ в конце урока.
Как найти длину вектора?
Если дан вектор плоскости , то его длина вычисляется по формуле .
Если дан вектор пространства , то его длина вычисляется по формуле 
.
Вектор – это величина, характеризуемая своим численным значением и направлением. Другими словами, вектор – это направленный отрезок. Положение вектора AB в пространстве задается координатами точки начала вектора A и точки конца вектора B. Рассмотрим, как определить координаты середины вектора .
Инструкция
Для начала определимся с обозначениями начала и конца вектора . Если вектор записан как AB, то точка A является началом вектора , а точка B – концом. И наоборот, для вектора BA точка B является началом вектора , а точка A – концом. Пусть нам задан вектор AB с координатами начала вектора A = (a1, a2, a3) и конца вектора B = (b1, b2, b3). Тогда координаты вектора AB будут следующими: AB = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3), т.е. из координаты конца вектора необходимо вычесть соответствующую координату начала вектора . Длина вектора AB (или его модуль) вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов его координат: |AB| = ?((b1 – a1)^2 + (b2 – a2)^2 + (b3 – a3)^2).
Найдем координаты точки, являющейся серединой вектора . Обозначим ее буквой O = (o1, o2, o3). Находятся координаты середины вектора так же, как координаты середины обычного отрезка, по следующим формулам: o1 = (a1 + b1)/2, o2 = (a2 + b2)/2 , o3 = (a3 + b3)/2. Найдем координаты вектора AO: AO = (o1 – a1, o2 – a2, o3 – a3) = ((b1 – a1)/2, (b2 – a2)/2, (b3 – a3)/2).
Рассмотрим пример. Пусть дан вектор AB с координатами начала вектора A = (1, 3, 5) и конца вектора B = (3, 5, 7). Тогда координаты вектора AB можно записать как AB = (3 – 1, 5 – 3, 7 – 5) = (2, 2, 2). Найдем модуль вектора AB: |AB| = ?(4 + 4 + 4) = 2 * ?3. Значение длины заданного вектора поможет нам для дальнейшей проверки правильности координат середины вектора . Далее найдем координаты точки O: O = ((1 + 3)/2, (3 + 5)/2, (5 + 7)/2) = (2, 4, 6). Тогда координаты вектора AO рассчитываем как AO = (2 – 1, 4 – 3, 6 – 5) = (1, 1, 1).
Выполним проверку. Длина вектора AO = ?(1 + 1 + 1) = ?3. Вспомним, что длина исходного вектора равна 2 * ?3, т.е. половина вектора действительно равна половине длины исходного вектора . Теперь рассчитаем координаты вектора OB: OB = (3 – 2, 5 – 4, 7 – 6) = (1, 1, 1). Найдем сумму векторов AO и OB: AO + OB = (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (2, 2, 2) = AB. Следовательно, координаты середины вектора были найдены верно.
Полезный совет
Выполнив вычисления координат середины вектора, обязательно выполните хотя бы самую простую проверку – посчитайте длину вектора и сравните ее с длиной данного вектора.
Класса сульфатов, CaSO 4 .2Н 2 О. В чистом виде содержит 32,56% СаО, 46,51% SO 3 и 20,93% Н 2 О. Механические примеси главным образом в виде органического и глинистого веществ, сульфидов и др. Кристаллизуется в моноклинной . В основе кристаллической структуры — двойные слои из анионных групп (SO 4) 2- , связанных катионами Ca 2+ . Кристаллы таблитчатые или призматические, образуют двойники, так называемый ласточкин хвост. весьма совершенная. Агрегаты: зернистые, листоватые, порошковатые, конкреции, волокнистые прожилки, радиально-игольчатые.Чистый гипс — бесцветный и прозрачный, при наличии примесей имеет серую, желтоватую, розоватую, бурую до чёрной окраску. Блеск стеклянный. 1,5-2. 2300 кг/м 3 . В заметно растворим (2,05 г/л при 20°С). По происхождению главным образом хемогенный. Выпадает в осадок при t 63,5°С, а в растворах, насыщенных NaCl, — при температуре 30°С. При значительном повышении солёности в усыхающих морских лагунах и солёных озёрах вместо гипса начинает выпадать безводный сернокислый кальций — , аналогичным образом ангидрит возникает при обезвоживании гипса. Известен также гидротермальный гипс, образующийся в низкотемпературных сульфидных месторождениях. Разновидности: — полупрозрачные волокнистые агрегаты, отливающие в отражённом свете красивым шелковистым блеском; гипсовый шпат — пластинчатый гипс в виде прозрачных кристаллов слоистой структуры и др.
Применение гипса
Гипс применяется в сыром и обожжённом виде. 50-52% добываемого в гипсового камня используется для выработки гипсовых вяжущих веществ различного назначения (ГОСТ 195-79), получаемых обжигом природного гипса, 44% гипса — в производстве портландцемента, где гипс применяется как добавка (3-5%) для регулирования сроков схватывания цемента, а также для выпуска специальных цементов: гипсоглинозёмистого расширяющегося цемента, напрягающего цемента и др. 2,5% гипса потребляет сельское хозяйство при производстве азотных удобрений (сульфата аммония) и для гипсования засоленных почв; в цветной металлургии гипсование используется в качестве флюса, в основном при выплавке ; в бумажном производстве — в качестве наполнителя, преимущественно в высших сортах писчих бумаг. В некоторых странах ( , и др.) гипс применяется для производства серной кислоты и цемента. Способность гипса легко обрабатываться, хорошо воспринимать полировку и обычно высокие декоративные свойства позволяют применять его в качестве имитатора при производстве облицовочных плит для внутренней отделки зданий и как материал для различных поделок.
В южных районах СССР в народном хозяйстве используется глиногипс с содержанием CaSO 4 .2Н 2 О от 40 до 90%. Рыхлую породу, состоящую из гипса, и , называют землистым гипсом, а в Закавказье и Средней Азии — "гажа" или "ганч". Эти породы в сыром виде употребляются для гипсования почв, в обожжённом — для штукатурки, как вяжущее средство.
Месторождение гипса
В СССР наиболее крупные месторождения расположены в , Тульской, Куйбышевской, Пермской областях РСФСР, на Кавказе и в Средней Азии. На 150 месторождениях гипса и 22 месторождениях глиногипса, гажи и ганча разведаны по промышленным категориям запасы 4,2 млрд. т (1981). Имеются 11 месторождений, запасы гипса на которых превышают 50 млн. т (в том числе Новомосковское — 857,4 млн. т).
Гипса разрабатываются карьерами (Шедокский, Сауриешский комбинаты и др.) и шахтами ("Новомосковский", "Артёмовский", "Камское Устье" и др.). В СССР эксплуатируются 42 месторождения гипса и ангидрита и 6 месторождений гипсоносных пород с годовой добычей около 14 млн. т (1981), из которых 60,2% — на территории
Введение
Материалы на основе гипса имеют различное назначение в стоматологической практике. К ним относятся:
Модели и штампики;
Оттискные материалы;
Литейные формы;
Огнеупорные формовочные материалы;
Модель — это точная копия твердых и мягких тканей полости рта пациента; модель отливают по оттиску анатомических поверхностей полости рта, и впоследствии ее используют для изготовления частичных и полных зубных протезов. Литейную форму применяют для изготовления зубного протеза из металлических сплавов.
Штампики - это копии или модели отдельных зубов, которые необходимы при изготовлении коронок и мостовидных зубных протезов.
Огнеупорный формовочный материал для изготовления литых металлических зубных протезов - это материал устойчивый к воздействию высоких температур, в котором гипс служит связующим веществом или связкой; такой материал применяется для форм при изготовлении протезов из некоторых литейных сплавов на основе золота.
Химический состав гипса
Состав
Гипс - дигидрат сульфата кальция CaS04 - 2Н20.
При прокаливании или обжиге этого вещества, т.е. нагревании до температур, достаточных для удаления некоторого количества воды, оно превращается в полугидрат сульфата кальция (CaS04)2 - Н20, а при более высоких температурах образуется ангидрит по следующей схеме:
Получение полугидрата сульфата кальция может осуществляться тремя способами, позволяющими получать разновидности гипса различного назначения. К этим разновидностям относятся: обожженный или обычный медицинский гипс, модельный гипс и супергипс; следует отметить, что эти три вида материала имеют одинаковый химический состав и отличаются только по форме и структуре.
Обожженный гипс (обычный медицинский гипс)
Дигидрат сульфата кальция нагревается в открытом варочном котле. Вода удаляется, и дигидрат превращается в полугидрат сульфата кальция, называемый также обожженным сульфатом кальция или ГЗ-полугидратом. Полученный материал состоит из больших пористых частиц неправильной формы, которые не способны к значительному уплотнению. Порошок такого гипса необходимо смешивать с большим количеством воды для того, чтобы эту смесь можно было применять в стоматологической практике, так как рыхлый пористый материал поглощает значительное количество воды. Обычное соотношение для смешивания - 50 мл воды на 100 г порошка.
Модельный гипс
При нагревании дигидрата сульфата кальция в автоклаве получаемый полугидрат состоит из небольших частиц правильной формы, которые почти не имеют пор. Такой автоклавированный сульфат кальция называют а-полугидратом. Благодаря непористой и регулярной структуре частиц, этот вид гипса дает более плотную упаковку и требуется меньшее количество воды для смешивания. Соотношение при смешивании - на 20 мл воды 100 г порошка.
Супергипс
При производстве этой формы полугидрата сульфата кальция дигидрат подвергается кипячению в присутствии хлорида кальция и хлорида магния. Эти два хлорида действуют как дефлоккулянты, препятствуя образованию хлопьев в смеси и способствуя разделению частиц, т.к. в противном случае частицы имеют тенденцию к агломерации. Частицы получаемого полугидрата по сравнению с частицами автоклавированного гипса еще более плотные и гладкие. Супергипс смешивается в соотношении - на 100 г порошка 20 мл воды.
Применение
Обычный обожженный или медицинский гипс используется как материал общего применения, главным образом в качестве основания моделей и самих моделей, поскольку он дешевый и легко обрабатывается. Расширение при затвердевании (см. ниже) не имеет существенного значения при изготовлении таких изделий. Такой же гипс применяется в качестве оттискного материала, а также в составах огнеупорных формовочных материалов на гипсовом связующем, хотя для такого использования рабочее время и время затвердевания, а также расширение при затвердевании тщательно контролируется путем введения различных добавок.
Автоклавированный гипс применяют для изготовления моделей тканей полости рта, в то время как более прочный супергипс - для изготовления моделей отдельных зубов, называемых штампиками. На них моделируют различные виды восстановлений из воска, по которым затем получают литые металлические протезы.
Процесс затвердевания
При нагревании гидрата сульфата кальция для удаления некоторого количества воды образуется в значительной степени обезвоженное вещество. Как следствие этого, полугидрат сульфата кальция способен реагировать с водой и превращаться обратно в дигидрат сульфата кальция по реакции:
Полагают, что процесс затвердевания гипса происходит в следующей последовательности:
1. Некоторое количество полугидрата сульфата кальция растворяется в воде.
2. Растворенный полугидрат сульфата кальция вновь вступает в реакцию с водой и образует дигидрат сульфата кальция.
3. Растворимость дигидрата сульфата кальция очень низкая, поэтому образуется перенасыщенный раствор.
4. Такой перенасыщенный раствор нестабилен, и дигидрат сульфата кальция выпадает в осадок в виде нерастворимых кристаллов.
5. Когда кристаллы дигидрата сульфата кальция выпадают в осадок из раствора, следующее дополнительное количество полугидрата сульфата кальция опять растворяется, и этот процесс продолжается до тех пор, пока не растворится весь полугидрат. Рабочее время и время затвердевания
Материал необходимо смешивать и заливать в форму до окончания рабочего времени. Рабочее время для различных продуктов разное и выбирается в зависимости от конкретного применения.
Для оттискного гипса рабочее время составляет всего 2-3 минуты, в то время как для огнеупорных формовочных материалов на гипсовом связующем оно достигает 8 минут. Короткое рабочее время связано с коротким временем затвердевания, так как оба эти процесса зависят от скорости реакции. Следовательно, если обычно рабочее время для оттискного гипса находится в пределах 2-3 минут, то время затвердевания для огнеупорных гипсовых формовочных материалов может изменяться от 20 до 45 минут.
Материалы для изготовления моделей имеют такое же рабочее время, как и оттискной гипс, но время их затвердевания несколько дольше. Для оттискного гипса время твердения равно 5-ю минутам, тогда как для автоклавированного или модельного гипса оно может длиться до 20 минут.
Изменение манипуляционных свойств или рабочих характеристик гипса можно получать путем ввода различных добавок. Добавки, которые ускоряют процесс затвердевания, это порошок самого гипса - дигидрата сульфата кальция (<20%), сульфат калия и хлорид натрия (<20%). Эти вещества действуют как центры кристаллизации, вызывая рост кристаллов дигидрата сульфата кальция. Вещества, которые замедляют процесс затвердевания, это хлорид натрия (>20%), лимоннокислый калий и бура, которые препятствуют образованию кристаллов дигидрата. Эти добавки также влияют на размерные изменения при затвердевании, как будет упомянуто ниже.
Различные манипуляции при работе с системой порошок-жидкость также влияют на характеристики затвердевания. Можно изменить соотношение порошок-жидкость, и при добавлении большего количества воды время затвердевания увеличится, поскольку времени для получения насыщенного раствора потребуется больше, соответственно больше времени будет нужно для выпадения в осадок кристаллов дигидрата. Увеличение времени перемешивания смеси шпателем приводит к уменьшению времени затвердевания, поскольку при этом может возникнуть разрушение кристаллов по мере их формирования, следовательно, образуется больше центров кристаллизации.
Клиническое значение
Увеличение времени перемешивания гипса шпателем приводит к уменьшению времени затвердевания и увеличению расширения материала при затвердевании.
Повышение температуры оказывает минимальное действие, поскольку ускорение растворения полугидрата уравновешивается более высокой растворимостью дигидрата сульфата кальция в воде.
Основы стоматологического материаловедения
Ричард ван Нурт
